Phân bố ngẫu nhiên của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong trường hợp này gợi đến khái niệm của biến ngẫu nhiên Bernoulli.

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

Xác suất để An chọn được phương án đúng là .

Xác suất để An chọn phương án sai là .

Bảng phân bố của biến ngẫu nhiên rời rạc X là

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli.

Khi tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất xuất hiện mặt sấp là , xác suất xuất hiện mặt ngửa là .

+) A0: “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”.

.

+) A1: “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”.

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt sấp, lần 2 xuất hiện mặt ngửa là: .

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa, lần 2 xuất hiện mặt sấp là: .

Do đó .

+) A2: “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”.

.

+) Với k = 0 thì .

+) Với k = 1 thì .

+) Với k = 2 thì .

Xét phép thử lặp T: “Xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập”.

Áp dụng công thức Bernoulli với p = 0,2 và k = 2, ta có:

.

Xét phép thử lặp T1: “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”.

Xác suất xuất hiện mặt ngửa là .

X nhận giá trị trong tập {0; 1; 2}.

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

,

,

.

Ta có bảng phân bố xác suất của X là:

Gọi X là số lần xuất hiện mặt 1 chấm trong 10 lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và .

Do đó

.

Gọi X là số người bị bệnh A được bác sĩ chữa khỏi bệnh.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 10 và p = 0,95.

Có 8 người khỏi bệnh tức là X = 8.

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

.

Vậy xác suất để có 8 người khỏi bệnh khoảng 7,5%.

Có nhiều nhất là 9 người khỏi bệnh tức là X £ 9.

Ta có .

Vậy xác suất để có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh khoảng 40,1%.

Gọi X là số lần bắn trúng bia.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 3 và p = 0,7.

Có ít nhất 1 lần bắn trúng bia tức là X ³ 1.

Ta có .

X là số gia đình có ti vi trong 20 gia đình đã chọn ra.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 0,7.

Có đúng 10 gia đình có ti vi tức là X = 10.

Ta có .

Vậy xác suất để có đúng 10 gia đình có ti vi khoảng 3,1%.

Có ít nhất 2 gia đình có ti vi tức là X ³ 2.

Ta có

.

Vậy xác suất để có ít nhất 2 gia đình có ti vi khoảng 99,99%.

Gọi X là số viên bi xanh trong 15 viên bi được chọn ra.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 15 và p = 0,6.

Ta có .

Vậy xác suất để có 10 viên bi xanh trong 15 viên bi được chọn ra khoảng 18,6%.

Gọi Y là số viên bi đỏ trong 15 viên bi được chọn ra.

Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 15 và p = 1 − 0,6 = 0,4.

Ta có .

Vậy xác suất để có 7 viên bi đỏ trong 15 viên bi được chọn ra khoảng 17,7%.

Gọi X là số lần quảng cáo thành công trong 12 lần quảng cáo đó.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 12 và .

Ta có

.

Vậy xác suất để có từ 3 đến 5 lần quảng cáo thành công khoảng 64,1%.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

;

;

.

Vậy 4 lần chạy quảng cáo thành công có xác suất lớn nhất và xác suất khoảng 23,8%.

Gọi X là số người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 0,8.

Ta có .

Vậy xác suất có 15 người hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ khoảng 17,46%.

Gọi Y là số người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ.

Y là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số 20 và p = 1 − 0,8 = 0,2.

Ta có .

Vậy xác suất có 8 người không hiểu biết cơ bản về Luật giao thông đường bộ khoảng 2,22%.

Ta đi tính xác suất để mẫu máu hỗn hợp đó không chứa kháng thể X.

Với mỗi mẫu máu thì xác suất để không chứa kháng thể X là 1 – 0,2 = 0,98.

Xác suất để mẫu máu hỗn hợp không chứa kháng thể X là 0,9820.

Vậy xác suất để một mẫu máu hỗn hợp chứa kháng thể X là: 1 – 0,9820 ≈ 0,3324.

Gọi Xi là số lần xét nghiệm ở nhóm thứ i với i Î{1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có E(X1) = E(X2) = … = E(X6)

Vì S = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6.

Vì các nhóm là độc lập với nhau nên

E(S) = E(X1) + E(X2) + E(X3) + E(X4) + E(X5) + E(X6) = 6 E(X1).

TH1: Nếu kết quả của mẫu máu hỗn hợp là âm tính thì chỉ cần 1 lần xét nghiệm.

TH2: Nếu kết quả của mẫu máu hỗn hợp là dương tính thì cần 21 lần xét nghiệm tất cả.

Ta có bảng phân bố xác suất

Do đó E(X1) = 1. 0,9820 + 21. (1 – 0,9820) ≈ 7,65.

V(X1) = 12. 0,9820 + 212. (1 – 0,9820) − 7,652 ≈ 88,73.

Vậy E(S) = 6.7,65 = 45,9.

V(S) = 6.88,73 = 532,38.

Vì E(S) = 45,9 < 48.

Do đó số lần xét nghiệm trung bình cho 120 mẫu máu đó theo cách ghép nhóm trên là nhỏ hơn 48.