Ba bức tranh trong Hình 46 có hình dạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình có mối liên hệ đồng dạng với nhau.

Cách xác định:

- Lấy điểm O và điểm M bất kì;

- Trên tia OM, lấy điểm M' sao cho OM' = 2OM.

Khi đó ta có $\overrightarrow{OM\text{'}}=2\overrightarrow{OM}$ (tham khảo Hình 47).

a) Vì A' = V(O, k)(A), B' = V(O, k)(B) nên $\overrightarrow{OA\text{'}}=k\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB\text{'}}=k\overrightarrow{OB}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\overrightarrow{OB\text{'}}-\overrightarrow{OA\text{'}}=k\overrightarrow{OB}-k\overrightarrow{OA}=k\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=k\overrightarrow{AB}$ (theo quy tắc hiệu).

Vậy $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=k\overrightarrow{AB}$, từ đó suy ra A'B' = |k|AB.

Kích thước thật của virus là

2 : 100 000 = 0,00002 (mm) = 0,02 (μm).

a) Phép tịnh tiến theo vectơ khác $\overrightarrow{0}$ không phải là phép vị tự vì không có điểm nào biến thành chính nó.

b) Phép đối xứng tâm là phép vị tự với tâm là tâm đối xứng và tỉ số k = – 1.

Chứng minh:

Giả sử ta có phép đối xứng tâm O biến điểm A thành điểm A', khi đó O là trung điểm của AA', suy ra $\overrightarrow{OA\text{'}}=-\overrightarrow{OA}$, do đó ta có phép vị tự tâm O tỉ số – 1 biến điểm A thành A'.

c) Phép đối xứng trục không phải là phép vị tự vì các đường thẳng nối cặp điểm tương ứng không đồng quy.

d) Phép quay với tâm O bất kì và góc quay φ = 2kπ (chính là phép đồng nhất) là phép vị tự tâm O với tỉ số k = 1.

Phép quay với tâm O bất kì và góc quay φ = (2k + 1)π (chính là phép đối xứng tâm O) là phép vị tự tâm O với tỉ số k = – 1.

Phép quay với góc bất kì khác 2kπ, (2k + 1)π không phải là phép vị tự.

a) Phép đối xứng trục là phép đồng dạng tỉ số 1.

b) Phép đồng nhất là phép đồng dạng tỉ số 1.

c) Phép vị tự tỉ số k = 1 là phép đồng dạng tỉ số |k| = |1| = 1.

d) Phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành điểm A cho trước không phải là phép đồng dạng.

Thật vậy, với hai điểm B, C phân biệt, ta có A là ảnh của B và cũng là ảnh của C qua phép biến hình đó. Ta có BC ≠ 0 (do hai điểm phân biệt), AA = 0, do đó không tồn tại số k > 0 để BC = kAA, vậy phép biến hình đã cho không phải phép đồng dạng.

+ Khẳng định a) và b) sai.

- Ta có thể lấy hai tam giác với các kích thước là (3; 4; 5) và (6; 7; 8), ta thấy tỉ lệ các cặp cạnh tương ứng không bằng nhau. Do đó hai tam giác bất kì không đồng dạng với nhau.

- Tương tự, hai hình chữ nhật bất kì cũng không đồng dạng với nhau.

+ Khẳng định c) và d) đúng.

Vì hình thoi và hình vuông đều là các hình có 4 cạnh bằng nhau.

Khoảng cách thực tế (tính theo đường chim bay) giữa Hà Nội và Tokyo là

37,34 . 10 000 000 = 373 400 000 (cm) = 3 734 (km).

Theo định lí về tính chất của phép vị tự ta có: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Giả sử qua phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) biến đường thẳng d thành đường thẳng d' thì d // d' hoặc d ≡ d'.

Mà O cố định, O thuộc đường thẳng d (giả thiết) và phép vi tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) biến điểm O thành chính nó nên O cũng thuộc đường thẳng d'. Do đó, d và d' không thể song song với nhau nên d và d' trùng nhau.

Như vậy, phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0) biến đường thẳng d thành đường thẳng trùng với chính nó. 

Nói cách khác: Qua phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0), ảnh của mọi đường thẳng đi qua tâm O là chính nó. 

Chú ý: Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R' = |k|R và có tâm là ảnh của tâm.

Hai đường tròn (O1; R) và (O2; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và đường tròn tâm O2 có bán kính gấp 2 lần đường tròn tâm O1.

- Trên đường tròn (O1; R) lấy điểm B bất kì.

- Trên đường tròn (O2; 2R) dựng đường kính CD // O1­­B.

- BC cắt O1O2 tại E.

+) Ta có: O1B // CO2 nên theo định lí Thales có $\frac{E{O}_2}{E{O}_1}=\frac{O_{2}C}{O_{1}B}=\frac{2R}{R}=2$.

Suy ra $\overrightarrow{E{O}_2}=2\overrightarrow{E{O}_1}$ nên ta có phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến điểm O1 thành điểm O2.

Như vậy, phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến đường tròn (O1; R) thành đường tròn (O2; 2R).

+) Nối B với D, ta chứng minh được BD cắt O1O2 tại điểm tiếp xúc A của hai đường tròn.

Ta có: $\frac{A{O}_2}{A{O}_1}=\frac{2R}{R}=2$ và A nằm giữa hai điểm O1 và O2 nên $\overrightarrow{A{O}_2}=-2\overrightarrow{A{O}_1}$. Do đó, ta có phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến điểm O1 thành điểm O2.

Như vậy, phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến đường tròn (O1; R) thành đường tròn (O2; 2R).

Vậy có 2 phép vị tự biến đường tròn (O1; R) thành đường tròn (O2; 2R).

+) Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D' của đoạn thẳng B'C' và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A'D' của tam giác A'B'C'. Đối với hai trung tuyến còn lại cũng vậy. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tam giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A'B'C'.

+) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H ∈ BC). Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH thành đường thẳng A'H'. Vì AH ⊥ BC nên A'H' ⊥ B'C', nói cách khác A'H' là đường cao của tam giác A'B'C'. Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường cao nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A'B'C'.

+) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành điểm O' thì O'A' = O'B' = O'C' = kOA = kOB = kOC, do đó O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'.

Giả sử cho hai n-giác đều A1A2...An và B1B2…Bn có tâm lần lượt là O và O'. Đặt $k=\frac{B_1{B}_2}{A_1{A}_2}=\frac{O\text{'}{B}_1}{O{A}_1}$. Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và C1C2…Cn là ảnh của đa giác A1A2…An qua phép vị tự V. Hiển nhiên C1C2…Cn cũng là đa giác đều và vì $\frac{C_1{C}_2}{A_1{A}_2}=k$ nên C1C2 = B1B2. Vậy hai n-giác đều C1C2….Cn và B1B1…Bn có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến C1C2…Cn thành B1B2…Bn. Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến A1A2…An thành B1B2…Bn.Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau.

Gọi G là trung điểm của BM.

Khi đó, ta thấy Hình 58 và Hình 56 là hai hình giống nhau. 

+) Theo kết quả Ví dụ 8 trang 32 thì hai hình BGEN và AMOD đồng dạng với nhau (1).

+) Theo kết quả Luyện tập 4 trang 32 thì hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau hay hai hình MGEO và OENC đồng dạng với nhau (2).

+) Thực hiện phép đối xứng trục GE thì hình BGEN biến thành hình MGEO (3).

Do đó, hai hình BGEN và MGEO đồng dạng với nhau.

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai hình AMOD và OENC đồng dạng với nhau.

Gọi viên gạch trang trí là ABC, giao của các canh hoa màu đỏ với BC, CA, AB lần lượt là các điểm D, E, F, G là tâm của hình tam giác đều, khi đó G là tâm của các hình hoa (quan sát hình vẽ dưới đây).

Qua phép quay tâm G, góc quay 120° hình cánh hoa màu xanh đỉnh A biến thành hình cánh hoa màu xanh đỉnh B, hình cánh hoa màu xanh đỉnh B biến thành hình cánh hoa màu xanh đỉnh C, hình cánh hoa màu đỏ đỉnh F biến thành hình cánh hoa màu đỏ đỉnh D, hình cánh hoa màu đỏ đỉnh D biến thành hình cánh hoa màu đỏ đỉnh E. Do đó, các hình cánh hoa màu xanh đồng dạng với nhau theo tỉ số 1 và các hình cánh hoa màu đỏ đồng dạng với nhau theo tỉ số 1 (phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1).

Do đó, GA = GB = GC và GD = GE = GF. 

Ta có G là tâm của hình tam giác đều ABC nên G cũng là trọng tâm của tam giác ABC và D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó ta có: $\overrightarrow{GD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$và $\overrightarrow{GF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}$. Do đó, D, E, F lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm G, tỉ số $-\frac{1}{2}$. Như vậy, khi ta lấy mỗi điểm bất kì trên hình hoa ba cánh màu xanh thì qua phép vị tự tâm G, tỉ số $-\frac{1}{2}$, điểm đó đều biến thành một điểm tương ứng trên hình hoa ba cánh màu đỏ. Vậy có phép đồng dạng biến hình hoa ba cánh màu xanh thành hình hoa ba cánh màu đỏ. Do đó, rằng hình hoa ba cánh màu xanh và hình hoa ba cánh màu đỏ đồng dạng với nhau.