Trong Hình 1, góc tạo bởi kim giờ và kim phút; góc tạo bởi kim phút và kim giây là hai góc có điểm gốc chung và có một cạnh chung là kim phút.

a) Thực hiện vẽ hình theo các bước như đề bài ta được hình vẽ.

a) Hai góc xOy và zOy có đỉnh O chung và cạnh Oy chung.

b) Vẽ tia đối Oy’ của tia Oy:

- Đặt thước sao cho mép thước dọc theo theo tia Oy.

- Kéo dài phía đầu kia của tia Oy lấy tia Oy’ (hai tia Oy và Oy’ cùng nằm trên đường thẳng yy’).

Ta thấy: Hai góc xOy và mOn có đỉnh O chung nhưng không có cạnh chung.

Do đó, hai góc xOy và mOn không phải là hai góc kề nhau.

Hai góc mOn và pOn có chung đỉnh O, chung cạnh On và hai cạnh Om và Op nằm về hai phía của tia On.

Do đó, hai góc mOn và pOn kề nhau.

Khi đó, $\widehat{mOp}=\widehat{mOn}+\widehat{nOp}={30}^o+{60}^o={90}^o$.

Vậy hai góc mOn và pOn kề nhau và $\widehat{mOp}={90}^o$.

Vẽ hai góc có số đo 110^o và 70^o.

* Giả sử $\widehat{xOy}={110}^o$:

- Chấm điểm O trên giấy, vẽ một tia Ox tuỳ ý.

- Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng vào điểm O và vạch chỉ số 0 trùng với tia Ox.

- Nhìn trên vạch chỉ vào số 110. Nối O với vị trí đó, ta có tia Oy sao cho $\widehat{xOy}={110}^o.$

* Giả sử $\widehat{aOb}={70}^o$

- Chấm điểm O trên giấy, vẽ một tia Oa tuỳ ý.

- Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng vào điểm O và vạch chỉ số 0 trùng với tia Oa.

- Nhìn trên vạch chỉ vào số 70. Nối O với vị trí đó, ta có tia Ob sao cho $\widehat{aOb}={70}^o$.

Ta có hình vẽ:

a) Hai góc xOt và yOt có chung đỉnh O, chung cạnh Ot và hai cạnh Ox và Oy nằm về hai phía của tia Ot.

Do đó, hai góc xOt và yOt kề nhau.

b) Hai góc xOt và yOt kề nhau nên:

$$\begin{gathered} \widehat{xOt}+\widehat{yOt}=\widehat{xOy}={180}^o \\ Vậy \widehat{xOt}+\widehat{yOt}={180}^o \end{gathered}$$

Hai góc xOt và yOt có chung đỉnh O, chung cạnh Ot và hai cạnh Ox và Oy nằm về hai phía của tia Ot.

Do đó, hai góc xOt và yOt kề nhau.

Khi đó, $\widehat{xOy}=\widehat{xOt}+\widehat{yOt}={180}^o$.

Suy ra, $\widehat{xOt}={180}^o-\widehat{yOt}={180}^o-{120}^o={60}^o$.

Vậy $\widehat{xOt}={60}^o$.

a) Cạnh Ox và cạnh Oy nằm về hai phía của điểm O và cùng thuộc đường thẳng xy.

Và cạnh Oy là thuộc góc yOt.

Vậy cạnh Ox của góc xOz là tia đối của cạnh Oy của góc yOt.

b) Cạnh Oz và cạnh Ot nằm về hai phía của điểm O và cùng thuộc đường thẳng zt.

Và cạnh Ot là thuộc góc yOt.

Vậy cạnh Oz của góc xOz là tia đối của cạnh Ot của góc yOt.

a) Hai góc xOy và yOz có chung đỉnh O, chung cạnh Oy và hai cạnh Ox và Oz nằm về hai phía của tia Oy.

Do đó, hai góc xOy và yOz kề nhau (1)

Suy ra $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$.

Mà $\widehat{xOz}={180}^o$ nên $\widehat{xOy}+\widehat{yOz}={180}^o$.

Do đó, hai góc xOy và yOz bù nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Hai góc xOy và yOz là hai góc kề bù.

b) Hai góc yOz và zOt có chung đỉnh O, chung cạnh Oz và hai cạnh Oy và Ot nằm về hai phía của tia Oz.

Do đó, hai góc yOz và zOt kề nhau (*)

Suy ra $\widehat{yOt}=\widehat{yOz}+\widehat{zOt}$.

Mà $\widehat{yOt}={180}^o$ nên $\widehat{yOz}+\widehat{zOt}={180}^o$.

Do đó, hai góc yOz và zOt bù nhau (**)

Từ (1) và (2) suy ra: Hai góc yOz và zOt là hai góc kề bù.

c) Vì $\widehat{xOy}+\widehat{yOz}={180}^o$ và $\widehat{yOz}+\widehat{zOt}={180}^o$.

Nên $\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=\widehat{yOz}+\widehat{zOt}$.

Suy ra $\widehat{xOy}+\widehat{yOz}-\widehat{yOz}=\widehat{yOz}+\widehat{zOt}-\widehat{yOz}$.

Do đó $\widehat{xOy}=\widehat{zOt}$.

Vậy $\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=\widehat{yOz}+\widehat{zOt}$ và $\widehat{xOy}=\widehat{zOt}$.

Đặt tên các đường thẳng ac, bd và eg cùng đi qua điểm O (như hình vẽ).

Hai góc iAj và jAk có chung đỉnh A, chung cạnh Aj và hai cạnh Ai và Ak nằm về hai phía của tia Aj.

Do đó, hai góc iAj và jAk kề nhau.

Xét hình 18b:

- Hai góc hBg và gBf có chung đỉnh B, chung cạnh Bg và hai cạnh Bh và Bf nằm về hai phía của tia Bg.

Do đó, hai góc hBg và gBf kề nhau.

- Hai góc gBf và eBf có chung đỉnh B, chung cạnh Bf và hai cạnh Bg và Be nằm về hai phía của tia Bf.

Do đó, hai góc gBf và eBf kề nhau.

- Hai góc hBg và gBe có chung đỉnh B, chung cạnh Bg và hai cạnh Bh và Be nằm về hai phía của tia Bg.

Do đó, hai góc hBg và gBe kề nhau.

- Hai góc eBf và hBf có chung đỉnh B, chung cạnh Bf và hai cạnh Be và Bh nằm về hai phía của tia Bf.

Do đó, hai góc eBf và hBf kề nhau.

Vậy trong hình 18a: hai góc iAj và jAk kề nhau;

Trong hình 18b: hai góc hBg và gBf kề nhau, hai góc gBf và eBf kề nhau.

b) Xét Hình 19:

- Góc xOy và góc yOu là hai góc kề nhau và $\widehat{xOy}+\widehat{yOu}=\widehat{xOu}={180}^o$.

Nên hai góc xOy và yOu là hai góc kề bù.

- Góc xOz và góc zOu là hai góc kề nhau và $\widehat{xOz}+\widehat{zOu}=\widehat{xOu}={180}^o$.

Nên hai góc xOz và zOu là hai góc kề bù.

- Góc xOt và góc tOu là hai góc kề nhau và $\widehat{xOt}+\widehat{tOu}=\widehat{xOu}={180}^o$.

Nên hai góc xOt và tOu là hai góc kề bù.

Vậy tìm hai góc kề bù trong Hình 19 là góc xOy và góc yOu, góc xOz và góc zOu, góc xOt và góc tOu.

c) Xét hình 20a:

Ta thấy: Mỗi cạnh của góc mHn không phải là cạnh đối của góc pKq.

Do đó, góc mHn và góc pKq không đối đỉnh.

- Xét Hình 20b:

Cạnh Oz của góc zIu và cạnh Oz’ của góc z’Iv đối nhau nhưng cạnh Iu của góc zIu và cạnh Ov của góc z’Iv không đối nhau.

 Do đó, góc zIu và z’Iv không đối đỉnh.

- Xét Hình 20c:

+ Cạnh Ox của góc xOy và cạnh Ox’ của góc x’Oy’ đối nhau và cạnh Oy của góc xOy và cạnh Oy’ của góc x’Oy’ đối nhau.

Nên hai góc xOy và góc x’Oy’ đối đỉnh.

+ Cạnh Ox của góc xOy’ và cạnh Ox’ của góc x’Oy đối nhau và cạnh Oy’ của góc xOy’ và cạnh Oy của góc x’Oy đối nhau.

Nên hai góc xOy’ và góc x’Oy đối đỉnh.

- Xét Hình 20d:

 + Mỗi cạnh của góc iSt không phải là cạnh đối của góc jSr.

Nên góc iSt và góc jSr không đối đỉnh.

+ Mỗi cạnh của góc iSj không phải là cạnh đối của góc rSt.

Nên góc iSj và góc rSt không đối đỉnh.

Vậy hai góc đối đỉnh trong Hình 20c là góc xOy và góc x’Oy’, góc xOy’ và góc x’Oy còn các Hình 20a, 20b, và 20d không có cặp góc đối đỉnh.

a) Hai góc kề nhau trong Hình 21 là: góc AFG và góc EFG, góc BGF và góc BGC,

góc BGF và góc EGF, góc EGF và góc EGC, góc EGC và góc BGC, góc BCG và DCG góc ABE và EBD, góc AEB và góc BED.

b) Hai góc kề bù trong Hình 21 là: góc AFG và góc EFG, góc BGF và góc BGC,

góc BGF và góc EGF, góc EGF và góc EGC, góc EGC và góc BGC, góc BCG và DCG.

Nên $\widehat{mOp}=\widehat{mOn}+\widehat{nOp}$.

Do đó $\widehat{mOp}={45}^o+{30}^o={75}^o$.

Vậy $\widehat{mOp}={75}^o$.

b) Trong Hình 22b: hai góc qPr và rPs là hai góc kề nhau.

Mà $\widehat{qPs}={180}^o$.

Khi đó, $\widehat{q\mathrm{Pr}}+\widehat{rPs}={180}^o$.

Suy ra, $\widehat{q\mathrm{Pr}}={180}^o-\widehat{rPs}$

Do đó $\widehat{q\mathrm{Pr}}={180}^o-{55}^o={125}^o$.

Vậy $\widehat{q\mathrm{Pr}}={125}^o$.

c) Trong Hình 22c:

- Hai góc zQt và z’Qt’ là hai góc đối đỉnh nên: $\widehat{zQt}=\widehat{z\text{'}Qt\text{'}}={41}^o$.

Do đó x = 41^o.

- Hai góc z’Qt và z’Qt’ là hai góc kề bù nên:

$\widehat{z\text{'}Qt}+\widehat{z\text{'}Qt\text{'}}={180}^o$.

Suy ra $\widehat{z\text{'}Qt}+{41}^o={180}^o$.

Do đó $\widehat{z\text{'}Qt}={180}^o-{41}^o={139}^o$.

Do đó y = 139^o.

Vậy x = 41^o; y = 139^o.

Trong Hình 23, coi mỗi thanh chắn vòm cửa đó như một cạnh của góc thì các thanh chắn đó tạo ra các góc kề nhau.

Các góc tạo bởi các thanh chắn cửa kề nhau tạo thành một góc bẹt và các góc có số đo gần bằng nhau.

Do đó, số đo mỗi góc bằng khoảng: 180^o : 4 = 45^o.

Vậy mỗi góc tạo bởi hai thanh chắn vòm cửa đó khoảng 45 độ.