Ta có thể thực hiện nhân, chia hai đa thức một biến.

x . (2x + 3) = x . 2x + x . 3 = 2x² + 3x.

(4x - 3)(2x² + 5x - 6)

= 4x . (2x² + 5x - 6) + (-3) . (2x² + 5x - 6)

= 4x . 2x² + 4x . 5x + 4x . (-6) + (-3) . 2x² + (-3) . 5x + (-3) . (-6)

= 8x³ + 20x² - 24x - 6x² - 15x + 18

= 8x³ + (20x² - 6x²) + (-24x - 15x) + 18

= 8x³ + 14x² - 39x + 18

Biểu thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là: (x + 3)(x - 1)(x - 2)

= [x . x + x . (-1) + 3 . x + 3 . (-1)] . (x - 2)

= (x² - x + 3x - 3) . (x - 2)

= (x² + 2x - 3) . (x - 2)

= x² . x + x² . (-2) + 2x . x + 2x . (-2) + (-3) . x + (-3) . (-2)

= x³ - 2x² + 2x² - 4x - 3x + 6

= x³ + (-2x² + 2x²) + (-4x - 3x) + 6

= x³ - 7x + 6

Vậy đa thức biểu thị thể tích của hình hộp chữ nhật trên là x³ - 7x + 6.

(3x + 1)(x² - 2x + 1) = 3x . (x² - 2x + 1) + 1 . (x² - 2x + 1)

= 3x . x² + 3x . (-2x) + 3x . 1 + x² - 2x + 1

= 3x³ - 6x² + 3x + x² - 2x + 1

= 3x³ + (-6x² + x²) + (3x - 2x) + 1

= 3x³ - 5x² + x + 1

Khi đó (3x³ - 5x² + x + 1) : (3x + 1) = x² - 2x + 1.

Thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Lấy hạng tử bậc cao nhất của đa thức P(x) chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 6x² : 2x = 3x.

Lấy P(x) trừ 3x . Q(x) ta được dư thứ nhất: 6x² + 4x - 3x . 2x = 6x² + 4x - 6x² = 4x

$\begin{array}{cccc}& 6{\text{x}}^2& +& 4\text{x}\\ \overline{}& 6{\text{x}}^2& & \\ & & & 4\text{x}\end{array}\begin{array}{cccc}2x& & & \\ 3\text{x}& & & \\ & & & \end{array}$

Bước 2: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức Q(x) được 4x : 2x = 2.

Lấy dư thứ nhất trừ đi 2 . Q(x) ta được dư thứ hai: 4x - 2 . 2x = 4x - 4x = 0.

Do dư bằng 0 nên dừng phép chia.

$\begin{array}{cccc}& 6{\text{x}}^2& +& 4\text{x}\\ \overline{}& 6{\text{x}}^2& & \\ & & & 4\text{x}\\ & & \overline{}& 4\text{x}\\ & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}2\text{x}& & \\ 3\text{x}& +& 2\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy P(x) : Q(x) = 3x + 2.

Ta có 9x² + 5x + x = 9x² + 6x.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccc}& {\text{9x}}^2& +& \text{6x}\\ \overline{}& {\text{9x}}^2& & \\ & & & \text{6x}\\ & & \overline{}& \text{6x}\\ & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}\text{3x}& & \\ 3\text{x}& +& 2\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy $\frac{9{\text{x}}^2+5\text{x}+x}{3\text{x}}$ = 3x + 2.

2 - x = -x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& -& 2\\ \overline{}& 2{\text{x}}^2& -& 4\text{x}& & \\ & & & x& -& 2\\ & & \overline{}& x& -& 2\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}-x& +& 2\\ -2\text{x}& -& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy $\frac{2{\text{x}}^2-3\text{x}-2}{2-x}$ = -2x - 1.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& x^2& +& 5\text{x}& +& 9\\ \overline{}& x^2& +& 2\text{x}& & \\ & & & 3\text{x}& +& 9\\ & & \overline{}& 3\text{x}& +& 6\\ & & & & & 3\end{array}\begin{array}{ccc}x& +& 2\\ x& +& 3\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy x² + 5x + 9 = (x + 2) . (x + 3) + 3.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& x^3& +& 8{\text{x}}^2& +& 19\text{x}& +& 12\\ \overline{}& x^3& +& 3{\text{x}}^2& & & & \\ & & & 5{\text{x}}^2& +& 19\text{x}& +& 12\\ & & \overline{}& 5{\text{x}}^2& +& 15\text{x}& & \\ & & & & & 4\text{x}& +& 12\\ & & & & \overline{}& 4\text{x}& +& 12\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}x& +& 3& & \\ x^2& +& 5\text{x}& +& 4\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (x² + 5x + 4) cm².

$\frac{1}{5}$. (x² + 1) . 5 = $\frac{1}{5}$. [(x² + 1) . 5] = $\frac{1}{5}$. [5 . (x² + 1)] = $\left(\frac{1}{5}.5\right)$ . (x² + 1) = x² + 1.

a) (4x - 3)(x + 2)

= 4x . x + 4x . 2 + (-3) . x + (-3) . 2

= 4x² + 8x - 3x - 6

= 4x² + (8x - 3x) - 6

= 4x² + 5x - 6

b) (5x + 2)(-x² + 3x + 1)

= 5x . (-x²) + 5x . 3x + 5x . 1 + 2 . (-x²) + 2 . 3x + 2 . 1

= -5x³ + 15x² + 5x - 2x² + 6x + 2

= -5x³ + (15x² - 2x²) + (5x + 6x) + 2

= -5x³ + 13x² + 11x + 2

c) (2x² - 7x + 4)(-3x² + 6x + 5)

= 2x² . (-3x²) + 2x² . 6x + 2x² . 5 - 7x . (-3x²) - 7x . 6x - 7x . 5 + 4 . (-3x²) + 4 . 6x + 4 . 5

= -6x⁴ + 12x³ + 10x² + 21x³ - 42x² - 35x - 12x² + 24x + 20

= -6x⁴ + (12x³ + 21x³) + (10x² - 42x² - 12x²) + (-35x + 24x) + 20

= -6x⁴ + 33x³ - 44x² - 11x + 20

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên ngoài là:

(2x + 4)(3x + 2)

= 2x . 3x + 2x . 2 + 4 . 3x + 4 . 2

= 6x² + 4x + 12x + 8

= 6x² + (4x + 12x) + 8

= 6x² + 16x + 8

Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật bên trong là:

x . (x + 1)

= x . x + x . 1

= x² + x

Do đó biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là:

(6x² + 16x + 8) - (x² + x)

= 6x² + 16x + 8 - x² - x

= (6x² - x²) + (16x - x) + 8

= 5x² + 15x + 8

Vậy biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là 5x² + 15x + 8.

a) (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³

= (8x⁶ : 4x³) + (-4x⁵ : 4x³) + (12x⁴ : 4x³) + (-20x³) : 4x³

= 2x³ - x² + 3x - 5

Vậy (8x⁶ - 4x⁵ + 12x⁴ - 20x³) : 4x³ = 2x³ - x² + 3x - 5.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 2{\text{x}}^2& -& 5\text{x}& +& 3\\ \overline{}& 2{\text{x}}^2& -& 3\text{x}& & \\ & & -& 2\text{x}& +& 3\\ & \overline{}& -& 2\text{x}& +& 3\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}2\text{x}& -& 3\\ x& -& 1\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy (2x² - 5x + 3) : (2x - 3) = x - 1.

a) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 4{\text{x}}^2& & & -& 5\\ \overline{}& 4{\text{x}}^2& -& 8\text{x}& & \\ & & & 8\text{x}& -& 5\\ & & \overline{}& 8\text{x}& -& 16\\ & & & & & 11\end{array}\begin{array}{ccccc}x& -& 2& & \\ 4\text{x}& +& 8& & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy 4x² - 5 = (4x + 8)(x - 2) + 11.

b) Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 3{\text{x}}^3& -& 7\text{x}& +& 2\\ \overline{}& 3{\text{x}}^3& -& \frac{9}{2}x& & \\ & & -& \frac{5}{2}x& +& 2\end{array}\begin{array}{ccc}2x^2& -& 3\\ \frac{3}{2}x& & \\ & & \end{array}$

Vậy 3x³ - 7x + 2 = $\frac{3}{2}$x . (2x² - 3) + $\left(-\frac{5}{2}x+2\right)$ = $\frac{3}{2}$x . (2x² - 3) - $\frac{5}{2}$x + 2.

Thực hiện đặt phép chia ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 4y^2& +& 4y& -& 3\\ \overline{}& 4y^2& -& 2y& & \\ & & & 6y& -& 3\\ & & \overline{}& 6y& -& 3\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}2y& -& 1\\ 2y& +& 3\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đó bằng (2y + 3) cm.

Thực hiện đặt phép chia để tìm diện tích đáy của hình hộp chữ nhật ta được:

$\begin{array}{cccccccc}& 3{\text{x}}^3& +& 8x^2& -& 45\text{x}& -& 50\\ \overline{}& 3{\text{x}}^3& +& 3{\text{x}}^2& & & & \\ & & & 5{\text{x}}^2& -& 45x& -& 50\\ & & \overline{}& 5{\text{x}}^2& +& 5\text{x}& & \\ & & & & -& 50\text{x}& -& 50\\ & & & \overline{}& -& 50\text{x}& -& 50\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}x& +& 1& & \\ 3{\text{x}}^2& +& 5\text{x}& -& 50\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Do đó diện tích đáy của hình hộp chữ nhật bằng (3x² + 5x - 50) cm².

Thực hiện đặt phép chia để tìm ra chiều rộng của hình hộp chữ nhật ta được:

$\begin{array}{cccccc}& 3{\text{x}}^2& +& 5\text{x}& -& 50\\ \overline{}& 3{\text{x}}^2& +& 15\text{x}& & \\ & & -& 10\text{x}& -& 50\\ & \overline{}& -& 10\text{x}& -& 50\\ & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccc}x& +& 5\\ 3\text{x}& -& 10\\ & & \\ & & \\ & & \end{array}$

Vậy chiều rộng của hình hộp chữ nhật bằng (3x - 10) cm.