Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn $e^{x-4y+\sqrt{1-x^2}}-e^{y^2+\sqrt{1-x^2}}-y=\frac{y^2-x}{4}$ giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^3+2y^2-2x^2+8y-x+2$ là $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S=a+b$.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=30°$, BC = 2, đường thẳng BC có phương trình $\frac{x-4}{1}=\frac{y-5}{1}=\frac{z+7}{-4}$ đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x + z - 3 = 0. Biết đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ của đỉnh A

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên

Bất phương trình $f\left(x\right)<3e^{x+2}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[-2;2\right]$ khi và chỉ khi

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình $\left|f\left(\frac{3x^2+2x+3}{2x^2+2}\right)\right|=m$ có nghiệm

Một biển quảng cáo có dạng hình Elip với bốn đỉnh $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ như hình vẽ bên. Người ta chia Elip bởi Parabol có đỉnh $B_1$, trục đối xứng $B_1{B}_2$, và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/$m^2$ và trang trí đèn Led phần còn lại với giá 500.000 đồng/$m^2$. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_1{A}_2=4M$, $B_1{B}_2=2m$, $MN=2m$.

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f'(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn $f\left(1\right)=e.f\left(0\right)$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{f^2\left(x\right)}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx\le 2$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^4-2x^2+m$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-20;20] sao cho $\underset{\left[0;2\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|<3\underset{\left[0;2\right]}{\min }\left|f\left(x\right)\right|$. Tổng các phân tử của S bằng

Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)={31}^x+3^x+mx$ trên $ℝ$ là 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong Lễ tổng kết Tháng thanh niên, có 10 đoàn viên xuất sắc gồm 5 nam và 5 nữ được tuyên dương khen thưởng. Các đoàn viên này được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang trên sân khấu để nhận giấy khen. Tính xác suất để trong hàng ngang trên không có bất kì 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1), B(-3;2;0), C(2;-2;3). Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Cho số thực m và hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left(2^x+2^{-x}\right)=m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;2]?

Cho hàm số f(x) liên tục trên có f(0) = 0 và đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left|3f\left(x\right)-x^3\right|$ đồng biến trên khoảng

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3 cm, r = 1 cm tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a, $SA\perp \left(ABCD\right)$, SA = a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng S.ABC.

Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt $z_1$, $z_2$ thỏa mãn đồng thời các phương trình $\left|z-1\right|=\left|z-i\right|$ và $\left|z+2m\right|=m+1$. Tổng các phần tử của S là

Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số $y={\log }_x\left(f\left(2x\right)\right)$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y' = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số g(x) = f(x) - x có bao nhiêu điếm cực trị?

Đạo hàm của hàm số là $f\left(x\right)=\frac{{\log }_{2}x}{x}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M(1;2;3) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;4;6\right)$. Phương trình nào sau đây không phải là của đường thắng $\Delta$?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA=\frac{\sqrt{2}a}{2}$, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

Cho các số phức $z_1$, $z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\sqrt{3}$ và $\left|z_1-z_2\right|=2$. Môđun $\left|z_1+z_2\right|$ bằng

Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng ta được hình vuông có chu vi bằng $8\pi$. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2, đường cao bằng 1. Tìm đường kính của mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1;2;-3) và tiếp xúc với trục Oy có bán kính bằng

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-\frac{1}{3}x+1$ và trục hoành như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho các số thực a, b thỏa mãn 1 <a < b và ${\log }_{a}b+{\log }_b{a}^2=3$. Tính giá trị của biểu thức $T={\log }_{ab}\frac{a^2+b}{2}$

Cho số thực a > 2, gọi $z_1$, $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2z+a=0$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phăng x = 0 và x = 4, biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 4) thì được thiết diện là nửa hình tròn có bán kính $R=x\sqrt{4-x}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$: $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$: x - y + 2z = 0. Góc giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x\left(x+1\right){\left(x-2\right)}^2$ với mọi $x\in ℝ$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [-1;2] là

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ cắt mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 2 = 0 tại điểm I(a;b;c). Khi đó a + b + c bằng

Đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-2x}+x}{x-1}$ bao nhiêu đường tiệm cận?

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^x<3-\frac{2}{2^x}$ là khoảng (a,b). Giá trị a + b bằng

Cho F(x) là nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ thỏa mãn F(2) = 4. Giá trị F(-1) bằng

Mệnh đề nào sau đây sai?

Nghiệm của phương trình $2^{x-3}=\frac{1}{2}$ là

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

Giả sử [0;4] là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $a^2{b}^3=4^4$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?