Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(a;b;c) với a,b,c là các số thực thay đổi thoả mãn ab+bc+ca=-1. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua H và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Mặt cầu tâm O tiếp xúc với (α) có bán kính nhỏ nhất bằng

Cho hai tam giác đều ABC và ABD có độ dài cạnh bằng 1 và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi S là điểm đối xứng của B qua đường thẳng DC. Tính thể tích của khối đa diện ABDSC.

Cho hai số phức $z_1,z_2$ khác 0 thoả mãn $z_1^2-z_1{z}_2+z_2^2=0$. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của $z_1,z_2$. Tam giác OAB có diện tích bằng $\sqrt{3}$. Tính môđun của số phức $z_1+z_2$.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=4,AD=5,AA'=6. Gọi M , N , P lần luợt là trung điểm các cạnh A'D',C'D' và DD' (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (MNP) bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)$$=x^2(x+1)(x^2+2mx+4)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số $y=f(x{)}^2$ có đúng một điểm cực trị.

Tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số $y=x^4+3x^3+2x^2$ tại đúng hai điểm phân biệt M và N với $x_M<x_N$. Giá trị của biểu thức $x_N-x_M$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=1\end{array}\right.$ và điểm A(0;4;0). Gọi M là điểm cách đều đường thẳng d và trục x'Ox. Khoảng cách ngắn nhất giữa A và M bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;0;0),M(1;2;3). Có bao nhiêu mặt phẳng qua A, M và cắt các trục toạ độ y'Oy,z'Oz lần lượt tại B,C khác gốc toạ độ O và toạ độ các điểm B và C là các số nguyên.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x(x-1{)}^2(x-2)$. Hỏi hàm số $y=f\left(\frac{5x}{x^2+4}\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn z.$\overline{z}$=1 và |z-3-4i|=m. Tính tổng các phần tử thuộc S.

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol (P):$y=8x-x^2$ và trục hoành. Các đường thẳng y=a,y=b,y=c với 0<a<b<c<16 chia (H) thành bốn phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức $(16-a{)}^3+(16-b{)}^3+(16-c{)}^3$ bằng

Số thực m nhỏ nhất để phương trình $8^x+3x.4^x+(3x^2+1)2^x$$=(m^3-1)x^3+(m-1)x$ có nghiệm dương là a+e ln⁡b, với a,b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức a+b bằng

Phương trình $\sqrt{-x^2+3x-2}.sin\left[\pi \right(4x^2+2x\left)\right]$=0 có bao nhiêu nghiệm thực

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $\underset{(-\infty ;0)}{min}f\left(x\right)=f(-1)$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [$\frac{1}{2}$;2] bằng

Cho hình trụ (T) có diện tích đáy bằng $48\pi$ và hai dây cung AB,CD lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của (T) sao cho ABCD là một hình vuông có độ dài cạnh bằng 10 và các cạnh của hình vuông này không song song với đường sinh của (T) (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích của khối trụ (T).

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f(x) như hình vẽ bên

Khi đó tổng ${\int }_0^{4}f\text{'}(x-2)dx$$+{\int }_0^{2}f\text{'}(x+2)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{\frac{9}{16}}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}}dx$$=\frac{a-b\ln 2}{c}$ với a,b,c là các số nguyên dương và a/c tối giản. Giá trị của biểu thức a+b+c bằng

Có bao nhiêu số nguyên m<100 để hàm số $y=\frac{x+m}{x^2+x+1}$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD (tham khảo hình vẽ bên). Tang góc giữa đường thẳng AG và mặt phẳng (ABCD) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;1;3) và hai đường thẳng $\Delta$:$\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}$,$\Delta \text{'}$:$\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}$. Phương trình nào dưới đây là đường thẳng qua M và vuông góc với $\Delta$ và $\Delta \text{'}$.

Tập nghiệm của bất phương trình $lo{g}_4(3^x-1).lo{g}_{\frac{1}{4}}\frac{3^x-1}{16}/\le \frac{3}{4}$ là.

Với n là số nguyên dương để $C_n^1,C_n^2,C_n^3$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức ${\left(x^4+\frac{2}{x^3}\right)}^n$ bằng

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=$\sqrt{3}$a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SB (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng AM và SC bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (Oxy),(Ozx).

Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau bằng

Ở địa phương X , người ta tính toán thấy rằng: nếu diện tích khai thác rừng hàng năm không đổi như hiện nay thì sau 50 năm nữa diện tích rừng sẽ hết, nhưng trên thực tế thì diện tích khai thác rừng tăng trung bình hàng năm là 6%/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa diện tích rừng sẽ bị khai thác hết ? Giả thiết trong quá trình khai thác, rừng không được trồng thêm, diện tích rừng tự sinh ra và mất đi (do không khai thác) là không đáng kể.

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Biết AB=CD=AN=BN=CM=MD=a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức $1+\sqrt{2}i$ và $1-\sqrt{2}i$ làm nghiệm ?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^2(x^2-4)$ trên đoạn [-2;2] bằng

Tích phân ${\int }_0^1\frac{1}{x+3}dx$ bằng

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Số nghiệm của phương trình |f(x)|=2 là

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-2}$. Hỏi d song song với mặt phẳng nào dưới đây ?

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a, độ dài đường sinh bằng 2a. Góc ở đỉnh của hình nón bằng

Nghiệm của phương trình $2^{2x}=2^{x+2018}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:x+2y+3z-6=0. Hỏi điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (α) ?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;2;-1). Hình chiếu vuông góc của A trên trục toạ độ x'Ox là

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}$ là

Hàm số nào dưới đây có tập xác định là khoảng $(0;+\infty )$ ?