Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 2. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BB′ và A’C’  (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng

Cho số phức z thoả mãn |z-2-3i|+|z+1|=$4\sqrt{2}$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z-3-4i| bằng

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=$2\sqrt{3}$,AA'=2. Gọi M là trung điểm cạnh BB′ và N là điểm đối xứng của C′ qua C. Côsin góc giữa hai mặt phẳng (A′MN) và (ABC) bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3). Mặt phẳng qua hai điểm B,C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là ax+by+cz-6=0. Giá trị của biểu thức a+b+c bằng

Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số $y=|4x^3-mx+1|$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ ?

Cho các số thực dương $a_1,a_2,a_3,a_4$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_4=\frac{32}{5}{b}_4$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3}{b_2+b_3}$ bằng

Cho hàm số y=f(x) xác định, có đạo hàm trên R thỏa mãn $f^2(-x)=(x^2+2x+4)f(x+2)$ và $f\left(x\right)\ne 0,\forall x\in R$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=2 là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}{4}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng x+3=0?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x(x+1)(x+2{)}^3$, $\forall x\in R$. Số điểm cực trị của hàm số $y=f(x^2-2x)$ là

Cho số phức z=a+bi$(a,b\in R)$ thoả mãn $z^2$ có phần ảo bằng 5 và số phức $w=\frac{2z-i}{2+iz}$ có môđun bằng 2. Tính P=a+b.

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{-1;2} thỏa mãn $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{3}{x^2-x-2}$, f(-2)=2 ln⁡2+2 và f(0)=ln⁡2-1. Giá trị của biểu thức f(-3)+f($\frac{1}{2}$) bằng

Cho hàm số $y=m(1+\sqrt{1+x})-x$ có $\underset{[3;8]}{max}y=3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Khi $m\ne 0,m\ne \pm \sqrt{2}$ phương trình $\frac{m\sin x-2}{m-2\cos x}=\frac{m\cos x-2}{m-2 \sin x}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn $[20\pi ;30\pi ]$?

Có bao nhiêu số nguyên m<10 để phương trình $\sqrt{m+\sqrt{m+e^x}}=e^x$ có nghiệm thực.

Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông cân, AB = AC = a, AA' = 2a. Biết hai đường tròn đáy của hình trụ lần lượt là hai đường tròn nội tiếp tam giác ABC và A′B′C′.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn $f\left(tanx\right)=co{s}^{4}x$, $\forall x\in R\backslash \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng y=2-x (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của (H) bằng

Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số $y=x^4-m{x}^2+8x$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1),B(-2;1;-1). Tập hợp các điểm M trong không gian thoả mãn MB=2MA là một mặt cầu có bán kính bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD. Góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng

Khai triển và rút gọn, ta được $(1+ax{)}^n=1+24x$$+252x^2+...$ Giá trị của biểu thức a+n bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):6x-2y+z-35=0 và điểm A(-1;3;6). Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua (P). Tính OA′.

Cho hình chóp S.ABC có SBC,ABC là các tam giác đều cạnh 2a,SA=$\sqrt{6}a$ (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC bằng

Một hộp đựng 10 viên phấn trong đó có 2 viên phấn màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên ra bốn viên phấn. Xác suất để có 2 viên phấn màu đỏ được chọn ra bằng

Hàm số $y=(x-2)(x^2-1)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $2|x-2|(x^2-1)=1$ là

Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x.{\log }_{4}x.{\log }_{8}x.{\log }_{16}x$$=\frac{2}{3}$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AC=2AA' (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng AC′ và mặt phẳng (ABCD) bằng

Phương trình $z^2-2z+5=0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$. Giá trị biểu thức $(z_1-z_2{)}^2$ bằng

Tích phân ${\int }_1^2\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$ bằng

Giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=x^3+x$ trên đoạn [-2;-1] bằng

Tìm đạo hàm của hàm số y=log⁡x.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}$ là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-1;2;1). Mặt phẳng qua A và song song với mặt phẳng (P):x+y+z=0 là

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng $2\sqrt{3}$. Đường sinh của hình nón bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $9^x<3^x$ là

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng qua điểm A(1;-1;2) và vuông góc với mặt phẳng (P):2x+2y-z+3=0 là

Bảng biến thiên ở hình vẽ bên là của hàm số nào dưới đây ?

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng toạ độ (Ozx) có phương trình là

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=ln⁡x là

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều, cạnh đáy bằng 4 và chiều cao bằng $\sqrt{3}$ là