Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=CA=CB=AB=a, $SC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , G là trọng tâm của tam giác ABC.  là mặt phẳng đi qua G, song song với các đường thẳng AB và  SB. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của  với các đường thẳng BC, AC, SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z=0$ và điểm $M\left(1;2;-1\right)$. Một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (S) tại hai điểm A, B. Tìm giá trị lớn nhất của tổng MA + MB

Trong không gian Oxyz cho hai mặt  phẳng $\left(P\right):x-y+2z+1=0$ và $\left(Q\right):2x+y+z-1=0$. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2, (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = a và $\stackrel{⏜}{SAB}=\frac{11\mathrm{\pi }}{24}.$ Gọi Q là trung điểm của cạnh SA. Trên các cạnh  SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với các đỉnh của hình chóp. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $AM+MN+NP+PQ$ theo a

Cho hai số thực $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1+5\right|=5$ và $\left|z_2+1-3i\right|=\left|z_2-3-6i\right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1-z_2\right|$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm cấp hai liên tục trên $\mathrm{ℝ}$  và thỏa mãn:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm và trục bé 25cm. Biết cứ dưa hấu sẽ làm được một cốc sinh tố giá 20.000 đồng. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa hấu không đáng kể.

Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn $x^2+2x-y+1={\log }_2\frac{\sqrt{2y+1}}{x+1}$.Tìm giá trị nhỏ nhất m  của biểu thức $P=e^{2x-1}+4x^2-2y+1$

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $2^{x^2+2mx+2}-2^{2x^2+4mx+m+2}=x^2+2mx+m$ có thực nghiệm

Cho hai hàm số  có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình $f\left(g\left(x\right)\right)=0 và g\left(f\left(x\right)\right)=0$ là

Biết rằng đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e\left(a,b,c,d,e\in \mathrm{ℝ};a\ne 0;b\ne 0\right)$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)={\left(4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d\right)}^2-2\left(6a{x}^2+3bx+c\right)\left(a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e\right)$ cắt trục hoành Ox tại bao nhiêu điểm?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số $y=\left(\left|x-3\right|\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Một sợi dây có chiều dài L (m) được chia thành ba phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai được uốn thành tam giác đều có cạnh gấp hai lần cạnh của hình vuông, phần thứ ba được uốn thành hình tròn (như hình vẽ).

Hỏi độ dài cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 3 hình thu được là nhỏ nhất?

Cho khai triển ${\left(1-2x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$ , biết $S=\left|a_1\right|+2\left|a_2\right|+...+n\left|a_n\right|=34992$.Tính giá trị của biểu thức $P=a_0+3a_1+9a_2+..+3^n{a}_n$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;2) và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z+1=0$. Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với (P) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right):x^2+y^2+z^2+4a+2y+z=0$ và $\left(S_2\right):x^2+y^2-2x-y-z=0$ cắt nhau theo một đường tròn (C) nằm trong mặt phẳng (P). Cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc (P) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, CA?

Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên dưới. Biết $AB=4m,\stackrel{⏜}{AEB}={150}^0$ (E là điểm chính giữa của cung AB) và AD = 1,4m. Biết giá tiền loại kính này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải trả là

Biết phương trình $z^4-3z^3+4z^2-3z+1=0$ có 3 nghiệm phức $z_1,z_2,z_3$. Tính giá trị của biểu thức $T=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\left|z_3\right|$

Cho parabol $\left(P_1\right):y=-x^2+4$ cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng . Xét parabol  $\left(P_2\right)$ đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$ . Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_1\right)$và d;$\left(S_2\right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(P_2\right)$ và trục hoành. Biết $S_1=S_2$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính $T=a^3-8a^2+48a$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn $2^{f\left(x\right)}+f\left(x\right)=x+1$. Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

Cho phương trình $4^x-m.2^{x+1}+m+2$ với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho phương trình trên có hai nghiệm dương phân biệt. Biết S là một khoảng có dạng $\left(a,b\right)$ . Tính $b-a$

Với mỗi số thực x, gọi $f\left(x\right)$ là giá trị nhỏ nhất trong các số $g_1\left(x\right)=4x+1,g_2\left(x\right)=x+2$$, g_3\left(x\right)=-2x+4$. Giá trị lớn nhất của $f\left(x\right)$ trên $\mathrm{ℝ}$

Đường thẳng $∆:y=-x+k$ cắt đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x-3}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

Chu vi của một đa giác là 158cm, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d = 3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm. Số cạnh của đa giác đó là

Chọn khẳng định đúng

Cho hai đường thẳng a và b. Điều kiện nào sau đay để kết luận hai đường thẳng chéo nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;1) và vuông góc với hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$;$d_2=\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{2}$

Cho số phức $z=1+i$. Khi đó $\left|z^3\right|$  bằng

Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là $a\left(t\right)=3t+t^2$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Cho a, b, c là ba số dương khác 1. Đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ được cho trong hình vẽ dưới. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathrm{ℝ}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị.

Cho hàm số bậc bốn $y=a{x}^4+b{x}^2+c\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2x+1}{1-x}$ trên đoạn $\left[2;3\right]$

Khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, 3a, 5a có thể tích là bao nhiêu?

Phát biểu nào trong các phát biểu dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(0;-1;1\right), B(-2;1;-1)$ và $C\left(-1;3;2\right)$. Biết rằng ABCD là hình bình hành. Khi đó tọa độ điểm D là

Cho hai điểm $M\left(1;2;-4\right)$ và $M^{\text{'}}\left(5;4;2\right)$. Biết M’ là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có một vecto pháp tuyến là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng $\left(P\right):2x+3y+z+1=0$ và điểm $A\left(1;2;0\right)$. Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (P) bằng

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và $AC=a\sqrt{3}$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón thu được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB

Khối đa diện mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, mặt số lần lượt là