Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm I thuộc cạnh BC và IM, IN lần lượt là đường phân giác của các góc AIC và AIB. Chứng minh: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

Một chiếc kệ bảy hoa quả có ba tầng được thiết kế như Hình 59. Tầng đáy có đường kính AB là 32 cm. Tầng giữa có đường kính CD nhỏ hơn đường kính tầng đáy là 12 cm. Tính độ dài đường kính tầng trên cùng EF, biết EF // AB; D, C lần lượt là trung điểm của EA và FB.

Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB, với MA = a, MB = b. Vẽ hai tam giác đều AMC và BMD; gọi E là giao điểm của AD và CM, F là giao điểm của DM và BC (Hình 58).

a) Chứng minh EF // AB.

b) Tính ME, MF theo a, b.

Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB ở D. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC ở E. Gọi x, y lần lượt là chu vi tam giác DBM và tam giác ECM. Tính x + 2y, biết chu vi tam giác ABC bằng 30 cm.

Để đo khoảng cách AB, trong đó điểm B không tới được, người ta tiến hành đo bằng cách lấy các điểm C, D, E sao cho AD = 10 m, CD = 7 m, DE = 4 m (Hình 57). Khi đó, khoảng cách AB (tính theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:

A. 9,3 m.

B. 9,4 m.

C. 9,6 m.

D. 9,7 m.

∆ABC ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng k, ∆MNP ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng q. Khi đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là:

A. k + q.

B. kq.

C. $\frac{q}{k}.$

D. $\frac{k}{q}.$

Cho tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC (Hình 56). Độ dài DC là:

A. 6.

B. 9.

C. 5.

D. 8 .

Cho tam giác ABC có DE // BC (Hình 55).

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hình 54 cho biết A’B’ = 4, A’O = 3, AO = 6, OB = x, AB = y.

Giá trị của biểu thức x + y là:

A. 22.

B. 18.

C. 20.

D. 16.

Cho ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’ và $\widehat{M}=30°,\widehat{N^{\text{'}}}=40°.$ Số đo góc P là:

A. 30°.

B. 40°.

C. 70°.

D. 110°.

Nếu ∆MNP ᔕ ∆DEG thì

Cho hai tam giác MNP và M’N’P’. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu $\widehat{M}=\widehat{M^{\text{'}}}$ và $\widehat{N}=\widehat{P^{\text{'}}}$ thì ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’.

B. Nếu $\widehat{M}=\widehat{N^{\text{'}}}$ và $\widehat{N}=\widehat{P^{\text{'}}}$ thì ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’.

C. Nếu $\widehat{M}=\widehat{P^{\text{'}}}$ và $\widehat{N}=\widehat{M^{\text{'}}}$ thì ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’.

D. Nếu $\widehat{M}=\widehat{M^{\text{'}}}$ và $\widehat{P}=\widehat{P^{\text{'}}}$ thì ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’.

Cho tam giác ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa mãn MN // BC và $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}.$ Tỉ số $\frac{NC}{AN}$ bằng

Hình 110 có ghi thứ tự của 6 lá mầm, trong đó có nhiều cặp lá mầm gợi nên những cặp hình đồng dạng. Hãy viết 6 cặp lá mầm gợi nên những hình đồng dạng.

Cho Hình 109. Hình nào đồng dạng phối cảnh với:

a) Tam giác OAB?                                         b) Tam giác OBC?

c) Tam giác OCD?                                         d) Tứ giác ABCD?

Hình 108 minh họa mặt cắt đứng của tủ sách nghệ thuật ở nhà bác Ngọc. Sau một thời gian sử dụng, tủ sách đó đã có dấu hiệu bị xuống cấp và cần sửa lại. Các tấm ngăn BM, CN, DP bị hỏng và cần thay mới. Em hãy giúp bác Ngọc tính toán chiều dài các tấm ngăn mới lần lượt thay thế cho các tấm ngăn BM, CN, DP đã bị hỏng. Biết chiều dài tấm ngăn EQ bằng 4 m.

b) AI.AN + BI.BM = AB².

Cho Hình 107. Chứng minh:

a) ∆ABN ᔕ ∆AIP và AI.AN = AP.AB;       

Cho tam giác ABC có M, N là hai điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN // BC. Gọi I, P, Q lần lượt là giao điểm của BN và CM, AI và MN, AI và BC. Chứng minh:

b) $\widehat{AIK}=\widehat{ACH}.$

Cho Hình 106. Chứng minh:

a) AH² = AB.AI = AC.AK;

b) HB = HD = 6 cm.

Cho Hình 105. Chứng minh:

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c:

c) Gọi AH, AH’ lần lượt là các đường cao của các tam giác nhọn ABC, A’B’C’. Chứng minh ∆ABH ᔕ ∆A’B’H’ và $\frac{AH}{A^{\text{'}}{H}^{\text{'}}}=k.$

b) Gọi AD, AD’ lần lượt là các đường phân giác của ∆ABC và ∆A’B’C’.

Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆A’B’D’ và $\frac{AD}{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=k.$

Cho ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ với tỉ số đồng dạng k.

a) Gọi AM, AM’ lần lượt là các đường trung tuyến của ∆ABC và ∆A’B’C’. Chứng minh ∆ABM ᔕ ∆A’B’M’ và $\frac{AM}{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=k.$

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và  $PR=\frac{3}{4}AD.$

b)  $AQ=\frac{2}{5}AN;$

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) MP // AD, $MP=\frac{1}{4}AD;$

Cho tứ giác ABCD. Tia phân giác của góc BAD và BCD cắt nhau tại điểm I (Hình 103). Chứng minh AB.CD = AD.BC.

Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tứ giác BMNP là hình bình hành (Hình 102). Chứng minh rằng $\frac{MN}{BC}+\frac{NP}{AB}=1.$

b) Độ dài cạnh MP là

A. 2 cm.      

B. 3 cm.      

C. 4 cm.      

D. 8 cm.

Cho ∆DEG ᔕ ∆MNP, DE = 2 cm, DG = 4 cm, MN = 4 cm, NP = 6 cm.

a) Độ dài cạnh EG là

A. 2 cm.      

B. 3 cm.      

C. 4 cm.      

D. 8 cm.

c) Số đo góc P bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.        

B. 50°.        

C. 60°.        

D. 80°.

b) Số đo góc N bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.        

B. 50°.        

C. 60°.        

D. 80°.

Cho ∆DEG ᔕ ∆MNP,    

a) Số đo góc D bằng bao nhiêu độ?

A. 40°.        

B. 50°.        

C. 60°.        

D. 80°.

Gấp và cắt giấy thành những chữ cái in hoa đồng dạng với nhau theo mẫu (Hình 99, Hình 100) sau đây:

Tìm hiểu thêm về những hình đồng dạng trong tự nhiên (với vật chất, cây cối, ...), trong nghệ thuật, trang trí, trong thiết kế, ...

Cho tam giác ABC có AB = 13, BC = 14, CA = 15. Cho D, E là hai điểm phân biệt.

a) Giả sử tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm D là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}.$ Tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

b) Giả sử tam giác A’’B’’C’’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm E là tâm đồng đạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}\text{'}}{B}^{\text{'}\text{'}}}{AB}=\frac{4}{5}.$ Tìm độ đài các cạnh của tam giác A’’B’’C’’.

c) Chứng minh diện tích tam giác A’B’C’ bằng diện tích tam giác A’’B’’C’’.