Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\]. Biết \[AB = 18{\rm{ cm}}{\rm{,}}\] \[AC = 24{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

a) Chứng minh: \[A{B^2} = BH \cdot BC\].

b) Kẻ đường phân giác \[CD\] của tam giác \[ABC\]\[\left( {D \in AB} \right)\]. Tính độ dài \[DA\].

c) Từ \[B\] kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \[CD\] tại \[E\] và cắt đường thẳng \[AH\] tại \[F.\] Trên đoạn thẳng \[CD\] lấy điểm \[G\] sao cho \[BA = BG\].

Chứng minh: \[BG \bot FG\].

Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình vẽ). Xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải di chuyển qua hồ nước. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(25\,\,{\rm{m}}\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC.\)

 Bác Hà còn một miếng đất trống để trồng cây gồm có 8 loại cây cho bác trồng: Cây ngô; Cây chè; Cây cao cao; Cây cao su; Cây sắn; Cây cà phê; Cây điều; Cây củ cải đường. Mảnh đất này chỉ trồng đúng 1 loại cây. Chọn ra ngẫu nhiên một cây trong các cây trên.

Tính xác suất mỗi biến cố sau :

a) “Cây được chọn ra là cây lương thực”.

b) “Cây được chọn ra là cây công nghiệp”.

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho đồ thị của hàm số \(y = x + 2\) (như hình vẽ).

a) Quan sát đồ thị của hàm số và cho biết trong ba điểm: \(A\left( {0;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,C\left( {2;\,\,3} \right),\) điểm nào thuộc đồ thị của hàm số?

b) Điểm \(D\left( {2023;\,\,2024} \right)\) có thuộc đồ thị của hàm số hay không? Vì sao?

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có một chữ số. Số kết quả có thể là

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Tích \[HB \cdot \,HC\] bằng

Cho hình vẽ. Giá trị của \(x\) là

Cho hình vẽ bên, biết \(DE\,{\rm{//}}\,AC.\)

Các số lần lượt cần điền vào dấu “\(?\)” trong bảng sau là gì?

Đồ thị của hàm số \(y = 2x + 1\) và hàm số \(y = ax + 3\) là hai đường thẳng song song, khi đó hệ số \[a\] bằng mấy?

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Đồ thị hàm số \(y = ax\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng luôn đi qua

c) Gọi N là giao điểm của AK và EF, D là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF và O, I lần lượt là trung điểm của BC và  AH.  Chứng minh ON vuông góc DI.

a) Chứng minh: $\Delta ABK\backsim \Delta CBF$ .

b) Chứng minh: $AE\cdot AC=AF\cdot AB$ .

Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái PQ = 1,5 m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC. Tính giúp chú thợ xem chiều dài mái DE bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 200.

a) Có bao nhiêu cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên như vậy?

b) Tính xác suất của mỗi biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số tròn trăm”.

Đường sông từ A  đến B ngắn hơn đường bộ là 10 km. Ca nô đi từ A đến B mất 2 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km/h  

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{4}{x}.$

a) Tính $f\left(-4\right);f\left(8\right).$

b) Hoàn thành bảng sau:

Bạn Nam tung một đồng xu cân đối và đồng chất 20 lần, có 13 lần mặt ngửa. Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt sấp xuất hiện” là

Số kết quả có thể của hành động chọn ngẫu nhiên một chữ cái trong từ “MATHEMATIC” là

Cho hình vẽ, biết $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ . Tỉ số $\frac{MN}{NP}$  bằng 

Cho hình vẽ:

Biết các điểm \[A\,,\,\,B\,,\,\,C\,,\,\,D\] lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \[IA',{\rm{ }}IB',{\rm{ }}IC',{\rm{ }}ID'.\]

Khẳng định nào sau đây là sai?

Nếu $\Delta A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\backsim \Delta ABC$  theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{1}{2}$  thì

Cho hình vẽ dưới đây BC // ED. Độ dài EC là

Phương trình $x\left(x-5\right)+5x=4$  có bao nhiêu nghiệm?

Phương trình nào sau đây không là phương trình bậc nhất một ẩn?

Cho hàm số được xác định bởi công thức y = ax – 1. Biết đồ thị hàm số này đi qua điểm (1;2) Hoành độ của điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng –4  là

Cho hàm số $y=\frac{m-1}{m+1}x+5.$  Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?

Đường thẳng x = 2 luôn cắt trục hoành tại điểm

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\,\,\,\left( {AB < AC} \right),\] vẽ đường cao \[AH.\]

a) Chứng minh: $\Delta ABH\backsim \Delta ABC$ .

b) Chứng minh: \(A{H^2} = HB \cdot HC\).

c) Trên tia \[HC,\] lấy điểm \(D\) sao cho \[HD = HA.\] Từ \(D\) vẽ đường thẳng song song \[AH\] cắt \[AC\] tại \[E.\] Chứng minh \[AE = AB.\]

Một đội thanh niên tình nguyện gồm 11 thành viên đến từ các tỉnh, TP như sau: Kon Tum; Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Gia Lai; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; Đăk Lăk ; Đăk Nông; Lâm Đồng;