Cho đường thẳng d: y = (m ‒ 2)x + 2 với m ≠ 2.

a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .

b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Một thiết bị tiệt khuẩn y tế bằng năng lượng mặt trời được mua với giá 60 triệu đồng, mỗi năm thiết bị tiệt khuẩn đó đều khấu hao k (triệu đồng) với 0 < k < 60. Gọi y (triệu đồng) là giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau x năm sử dụng.

a) Chứng tỏ rằng y là hàm số bậc nhất của x, tức là y = ax + b (a ≠ 0).

b) Trong Hình 10, tia At là một phần của đường thẳng y = ax + b. Tìm a, b. Từ đó, cho biết sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng bao nhiêu phần trăm so với giá mua ban đầu.

Cho hai đường thẳng d: y = mx ‒ (2m + 2) và d’: y = (3 ‒ 2m) x + 1 với m ≠ 0 và \(m \ne \frac{3}{2}.\)

a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).

b) Gọi β là góc tạo bởi đường thẳng d ở câu a và trục Ox. Hỏi β là góc nhọn hay góc tù? Vì sao?

c) Tìm giá trị của m để d và d’ cắt nhau.

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

a) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm P(0; b) và \(Q\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

b) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm M(‒1; ‒a + b) và \(N\left( { - \frac{b}{a};b} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

c) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm I(1; a + b) và K(‒2; ‒2a + b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Một đội xe cần chuyển 945 tấn hàng từ kho tổng về cửa hàng. Biết mỗi ngày đội xe đó chuyển được 35 tấn. Gọi y (tấn) là khối lượng hàng hoá còn lại trong kho tổng sau x ngày vận chuyển.

a) Viết công thức tính y theo x. Hỏi y có phải là hàm số bậc nhất của x hay không?

b) Đội xe đó cần bao nhiêu ngày để chuyển hết 945 tấn hàng từ kho tổng về cửa hàng?

Giá nước sinh hoạt của một hộ gia đình được tính như sau: 10 m³ đầu tiên giá 7 000 đồng/m³; từ trên 10 m³ đến 20 m³ giá 8 200 đồng/m³; từ trên 20 m³ đến 30 m³ giá 10 000 đồng/m³; từ trên 30 m³ giá 18 000 đồng/m³.

a) Viết công thức biểu thị số tiền y (đồng) mà nhà bạn Mai phải trả khi sử dụng x (m³) trong tháng 12/2022 với x > 30. Hỏi y có phải là hàm số bậc nhất của x hay không?

b) Nhà bạn Mai đã phải trả 342 000 đồng cho tiền nước tháng 1/2023. Tính số mét khối nước nhà bạn Mai đã sử dụng trong tháng 1/2023, biết rằng số nước đó lớn hơn 30 (m³).

Nhiệt độ ở mặt đất đo được khoảng 28°C. Biết rằng cứ lên cao 1 km thì nhiệt độ giảm đi 5°C.

a) Viết công thức biểu thị nhiệt độ y (°C) đo được ở độ cao x km so với mặt đất. Hỏi y có phải là hàm số bậc nhất của x hay không?

b) Tính nhiệt độ đo được ở độ cao 3000 m so với mặt đất.

Một cửa hàng thu mua gạo cho biết: Giá nhập vào của 1 kg gạo tám Hải Hậu là 18 000 đồng.

a) Viết công thức biểu thị số tiền y (đồng) mà cửa hàng phải trả để nhập x kg gạo tám Hải Hậu. Hỏi y có phải là hàm số bậc nhất của x hay không?

b) Tính số tiền mà cửa hàng phải trả để nhập 0,5 tấn gạo tám Hải Hậu.

Cho hàm số bậc nhất f(x) = 3x ‒ 1. Hãy sắp xếp các giá trị sau theo thứ tự giảm dần:

\(f\left( { - \frac{1}{3}} \right);f\left( {\frac{1}{9}} \right);f\left( { - 1} \right);f\left( { - 3} \right);f\left( 0 \right)\).

Xác định hệ số của x, hệ số tự do trong mỗi hàm số bậc nhất sau:

a) y = 3,6x ‒ 2,7;

b) \(y = - \sqrt {56} x + 3\);

c) \(y = \frac{{91}}{{112}}x + \frac{{15}}{{67}}\);

d) \(y = - \frac{5}{{29}}x - \sqrt 7 \).

Cho tam giác GIK như Hình 6.

a) Xác định toạ độ các điểm G, I, K.

b) Xác định toạ độ điểm H để tứ giác KOIH là hình vuông.

c) Ba điểm G, H, K có thẳng hàng hay không? Vì sao?

d) Tính tỉ số \(\frac{{GH}}{{HK}}\).

Cho tam giác ACD như Hình 5.

a) Xác định tọa độ các điểm A, C, D.

b) Xác định tọa độ điểm B để tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xác định toạ độ các điểm M, N, P, Q.

Nhiệt độ y(°C) ở một địa điểm thuộc vùng có đới khí hậu hàn đới là một hàm số theo thời điểm x (h) trong một ngày. Hàm số này được biểu thị dưới dạng Bảng 1.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biểu diễn các điểm có toạ độ là các cặp số (x; y) tương ứng ở Bảng 1 .

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nêu cách xác định mỗi điểm sau:

a) M(0; 2);

b) N(‒4; 0);

c) P(‒3; ‒3);

d) Q(5; 2).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định toạ độ điểm A trong mỗi trường hợp sau:

a) Hoành độ bằng ‒2 và tung độ bằng 2;

b) Hoành độ bằng 3 và tung độ bằng 4;

c) Tung độ bằng ‒6 và nằm trên trục tung;

d) Hoành độ bằng \(\frac{1}{2}\) và nằm trên trục hoành.

Một xưởng may sản xuất một lô khẩu trang với tiền vốn dùng cho máy móc thiết bị và vật tư là 40 000 000 đồng và giá bán mỗi thùng khẩu trang là 1 000 000 đồng.

a) Viết công thức tính lợi nhuận y (đồng) của xưởng may đó khi bán x thùng khẩu trang. Hỏi y có phải là hàm số của x hay không? Vì sao?

b) Xưởng may cần phải sản xuất bao nhiêu thùng khẩu trang thì thu được số tiền vốn ban đầu?

Cho hàm số f(x) = 2 ‒ 3x. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

a) f(‒1) = 5;

b) f(0) = ‒3;

c) \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = - 1\);

d) \(f\left( { - \frac{1}{3}} \right) = 3\).

Cho hàm số  f(x) = x³ ‒ 2. Tìm số thích hợp cho  trong bảng sau:

Giá của một chiếc máy tính bảng lúc mới mua là 9800000 đồng. Giá trị của chiếc máy tính bảng đó sau khi sử dụng x (năm) được tính bởi công thức:

V(x) = 9 800 000 ‒ 800 000x.

a) Hỏi V(x) có phải là hàm số của x hay không? Vì sao?

b) Tính V(3) và cho biết V(3) có nghĩa là gì.

c) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng đó là 5 000 000 đồng?

Thống kê nhiệt độ T (°C) tại một địa điểm thuộc vùng ôn đới ở một số thời điểm t (h) trong một ngày được cho bởi bảng sau:

a) Trong các thời điểm trong bảng trên, thời điểm nào có nhiệt độ cao nhất? Thấp nhất?

b) Nhiệt độ T có phải là hàm số của thời điểm t hay không? Vì sao?

c) Thời điểm t có phải là hàm số của nhiệt độ T hay không? Vì sao?

Một tổ sản xuất theo kế hoạch phải may 600 chiếc khẩu trang trong thời gian quy định. Do tăng năng suất lao động, mỗi giờ tổ sản xuất đó may được nhiều hơn kế hoạch 20 chiếc. Gọi x là số khẩu trang mà tổ sản xuất phải may trong mỗi giờ theo kế hoạch (x ∈ ℕ*, x < 600). Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch;

b) Thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế;

c) Tỉ số của thời gian tổ sản xuất đã hoàn thành công việc theo thực tế và thời gian tổ sản xuất phải hoàn thành công việc theo kế hoạch.

Hai ca nô cùng xuất phát đi xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 24 km. Ca nô thứ nhất đến bến B trước và quay trở lại thì gặp ca nô thứ hai tại vị trí C cách bến A là 8 km. Biết tốc độ của dòng nước là 4 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của ca nô thứ nhất (x > 4). Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B;

b) Thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến B đến vị trí C;

c) Tổng thời gian ca nô thứ nhất đi từ bến A đến bến B và từ bến B đến vị trí C.

Cho biểu thức:

\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\).

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức S tại x = 0,1.

b*) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S.

Cho biểu thức:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\).

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức D.

b) Tính giá trị của biểu thức D tại x = 5 947.

c*) Tìm giá trị của x để D nhận giá trị nguyên.

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}\) tại x = 5; y = 7;

b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\);

c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\) tại x = –15; y = 5.

Thương của phép chia phân thức \(\frac{{{y^3} - {x^3}}}{{6{x^3}y}}\) cho phân thức \(\frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{2xy}}\) là

A. \(\frac{{y - x}}{{3x}}\).

B. \(\frac{{x - y}}{{3{x^2}}}\).

C. \(\frac{{x - y}}{{3x}}\).

D. \(\frac{{y - x}}{{3{x^2}}}\).

Giá trị của biểu thức \(M = \frac{1}{{3 + x}} + \frac{1}{{3 - x}}\) tại x = 0,5 là

A. \(\frac{{22}}{{37}}\).

B. \(\frac{{22}}{{35}}\).

C. \(\frac{{24}}{{35}}\).

D. \(\frac{{24}}{{37}}\).

Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{1}{{x - 3}}\) là

A. x – 3 > 0.

B. x – 3 < 0.

C. x – 3 ≠ 0.

D. x – 3 = 0.

Trên một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với x > y > 4, bác An dự định làm một vườn hoa hình chữ nhật và bớt ra một phần đường đi rộng 2 m như ở Hình 3. Viết phân thức biểu thị theo x, y:

a) Tỉ số diện tích của mảnh đất và vườn hoa.

b) Tỉ số chu vi của mảnh đất và vườn hoa.

Hai máy bay cùng bay quãng đường 600 km. Biết tốc độ của máy bay thứ hai lớn hơn tốc độ của máy bay thứ nhất là 300 km/h. Gọi x km/h là tốc độ của máy bay thứ nhất (x > 0). Viết phân thức biểu thị theo x:

a) Thời gian máy bay thứ nhất đã bay;

b) Thời gian máy bay thứ hai đã bay;

c) Tỉ số của thời gian máy bay thứ nhất đã bay và thời gian máy bay thứ hai đã bay.

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(M = \frac{{x - 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} - 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\);

b) \(N = \left( {x - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x - y}}} \right)\);

c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} - xy} \right):\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\).

Tính một cách hợp lí:

a) \(\frac{{39x + 7}}{{x - 2020}}.\frac{{9x - 20}}{{x + 2022}} - \frac{{39x + 7}}{{x - 2020}}.\frac{{8x - 2042}}{{x + 2022}}\);

b) \(\frac{{{x^2} - 81}}{{{x^2} + 101}}.\left( {\frac{{{x^2} + 101}}{{x - 9}} + \frac{{{x^2} + 101}}{{x + 9}}} \right)\);

c) \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 100}}.\frac{{2x}}{{x + 2}} + \frac{{1 - {x^2}}}{{x + 100}}.\frac{{x - 100}}{{x + 2}}\).

Thực hiện phép tính:

a) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}}:\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) \(\frac{{x + y}}{{2x - y}}:\frac{1}{{x - y}}\)

c) \(\frac{{{x^3}y + x{y^3}}}{{{x^4}y}}:\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

d) \(\frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{1 - {x^2}}}\).