Cho hình nón xoay có đường cao h = 4, bán kính đáy r = 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón nhưng không qua trục của hình nón và cắt hình nón theo giao tuyến là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2. Tính diện tích S của thiết diện được tạo ra.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = 1, AD = 2 cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=$\sqrt{11}$.Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho mặt nón có chiều cao h = 6 bán kính đáy r = 3. Một hình lập phương đặt trong mặt nón sao cho trục của mặt nón đi qua tâm hai đáy của hình lập phương, một đáy của hình lập phương nằm trong mặt đáy của hình nón, các đỉnh còn lại thuộc các đường sinh của hình nón. Tính độ dài cạnh của hình lập phương.

Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P) đi qua S, không chứa trục của hình nón cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB$=2\sqrt{3}a$ .Khoảng cách từ âm của hình tròn đáy đến mặt phẳng (P) bằng

Cho hình nón đỉnh (S) có đường sinh bằng 3 , đường cao bằng 1 . Tìm đường kính của mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho:

Cho hình nón có đường sinh bằng 2 và diện tích xung quanh bằng $2\sqrt{3}\mathrm{\pi }$ . Tìm đường kính của mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho

Cho hình nón đỉnh (S) có đường sinh bằng 2 , đường cao bằng 1 . Tìm đường kính của mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho:

Cho khối cầu (S) có tâm I và bán kính R=$2\sqrt{3}$ , gọi (P) là mặt phẳng cắt khối cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) . Tính khoảng cách d từ I đến (P) sao cho khối nón có đỉnh I và đáy là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất.

Một cốc nước có dạng hình trụ đứng nước chiều cao 12cm , đường kính đáy 4cm, lượng nước trong cốc cao 8cm . Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm . Hỏi nước dâng cao cách mép cốc là bao nhiêu? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua dộ dày của cốc).

Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $54\sqrt{3}\mathrm{\pi }$ ($d{m}^3$). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào trong một thùng hình trụ chiều cao 3cm và bán kính đáy bằng 12cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

Một khối trụ có bán kính đáy bằng $a\sqrt{3}$ , chiều cao $2a\sqrt{3}$ . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ.

Cho (S) là một mặt cầu có đường kính AB=10. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By  với mặt cầu (S) sao cho $Ax\perp By$ . Gọi M là điểm di động trên Ax , N  là điểm di động trên By sao cho MN luôn tiếp xúc với mặt cầu. Tính giá trị của tích AM,BN?

Một hình nón có chiều cao 9(cm) nội tiếp trong một hình cầu có bán kính 5(cm) . Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của khối nón và khối cầu. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ .

Một khối pha lê gồm một hình cầu $\left(H_1\right)$ bán kính R và một hình nón $\left(H_2\right)$ có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là r,l  thỏa mãn $r=\frac{1}{2}l và l=\frac{3}{2}R$ xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu $\left(H_1\right)$ và diện tích toàn phần của hình nón $\left(H_2\right)$ là 91$c{m}^2$. Tính diện tích của mặt cầu $\left(H_1\right)$ .

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120c{m}^3$ , thể tích của mỗi khối cầu bằng

Người ta xếp bốn quả bóng hình cầu có bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng và quả dưới cùng tiếp xúc với hai nắp hộp. Tính thể tích của hộp biết thể tích mỗi quả bóng là $10 c{m}^3$

Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là $120c{m}^3$ , thể tích của mỗi khối cầu bằng

Một khối đồ chơi bao gồm khối trụ và khối lăng trụ tam giác đều được xếp chồng lên nhau như hình vẽ.

Biết rằng bán kính đáy khối trụ bằng chiều cao khối trụ, chiều cao khối trụ bằng chiều cao của lăng trụ. Gọi $V_1 và V_2$  lần lượt là thể tích của khối trụ và khối lăng trụ. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.  

Người ta thả một viên bi sắt có dạng khối cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính của quả banh. Gọi $\left(S_1\right)$ là tổng diện tích của ba quả banh, $\left(S_2\right)$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích  $\frac{S_1}{S_1}$là

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là  . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Thể tích V của nước còn lại trong bình bằng

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là $\frac{\pi }{3}$ . Một khối cầu $\left(S_1\right)$ nội tiếp trong khối nón. Gọi  $S_2$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $S_1$ ; $S_3$ là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với $S_1$;..;$S_n$  là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $S_{n-1}$ . Gọi $V_1,V_{2,}{V}_{3,}.....,V_{n-1},V_n$ ,  lần lượt là thể tích của khối cầu $S_1,S_{2,}{S}_{3,}.....,S_{n-1},S_n$ , và V là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức $T=lim\frac{V_1+V_2+...+V_n}{V}$ .

Cho hai mặt cầu  $\left(S_1\right)$có tâm $I_1$ , bán kính $R_1=1$, $\left(S_2\right)$ có tâm  $I_2$ bán kính $R_2$ = 5. Lần lượt lấy hai điểm $M_1,M_2$ thuộc hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Gọi K là trung điểm $M_1{M}_2$ . Khi $M_1{M}_2$ di chuyển trên $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ thì K quét miền không gian là một khối tròn xoay có thể tích bằng?

Cho hình cầu tâm O bán kính R , tiếp xúc với mặt phẳng (P) . Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P), có chiều cao h = 15 , có bán kính đáy bằng R . Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P) . Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) song song với (P) và thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S . Gọi x là khoảng cách giữa (P) và  (Q), $(0<x\le 5)$ . Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi $x=\frac{a}{b}$ (phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính giá trị T =a+b .

Cho tam giác đều ABC có đỉnh A(5;5) nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M là trung điểm BC. Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là $V_1 và V_2$ . Tỷ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

Cho mặt cầu (S):${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=25$ và hai điểm A(3;-2;6) , B(0;1;0). Giả sử $\left(\alpha \right):ax+by+cz-2=0$  đi qua A , B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+b^2+c^3$

Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R .

Cho a , b , c , x , y , z  là các số thực thay đổi thỏa mãn ${(x+1)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=4$  và a + b + c = 6 . Tính giá trị nhỏ nhất của $P={(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2.$ .

Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương không có nắp. Khi thả một khối cầu kim loại đặc vào trong hình lập phương thì thấy khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương đó. Tính bán kính của khối cầu, biết thể tích nước còn lại trong hình lập phương là 10. Giả sử các mặt của hình lập phương có độ dày không đáng kể.

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5(cm) . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và màu đen, mỗi miếng có diện tích $49,83 \left(c{m}^2\right)$ . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right) và \left(S_2\right)$ đồng tâm I, có bán kính lần lượt là $R_1=2 và R_2=\sqrt{10}$ . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B  nằm trên  $\left(S_1\right)$ và hai đỉnh C , D  nằm trên $\left(S_2\right)$ . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1 . Trên hai tia Ox,Oy lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ?

Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d ,  H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn (C). Trong số các mặt cầu chứa đường tròn (C) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây?

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng?

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục là hình thang cân. Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3cm và r = 1cm  tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của (N) đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó.

Gọi r , R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Tính tỉ số $\frac{R}{r}$ ?

Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a,BC=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, $AB=BC=3a\sqrt{2}, \widehat{SAB}=\widehat{SCB}={90}^{\circ }$ . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCB) bằng $2a\sqrt{3}$ . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.