Cho f(x) là hàm liên tục và a>0. Giả sử rằng với mọi x thuộc [0;a] ta có f(x)>0 và f(x).f(a-x) = 1 Hãy tính $I = {\int }_0^a\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$ theo a.

Cho f  là một hàm số. Tìm số thực a>0 sao cho $\forall x>0$ ${\int }_a^x\frac{f\left(t\right)}{t^2}dt + 6 =2\sqrt{x}$

Giả sử rằng $\int (x-2)\sin 3x dx = -\frac{(x-3)\cos 3x}{n}+\frac{\sin 3x}{p}+c$. Tính giá trị của m+n+p

Cho đồ thị hàm số $y = x^3$ và đường tròn (C) $x^2+y^2=2$ Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trên hình?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f\left(x\right)dx = 9$ Tính ${\int }_0^2\left[f(1-3x) + 9\right]dx$

Cho hàm số $f_1\left(x\right) = \sqrt{x-1}$, $f_2\left(x\right) = x$, $f_3\left(x\right) = \tan x$, $f_4\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2-1}{x-1} khi x\ne 1\\ 2 khi x = 1\end{array}\right.$ Hỏi trong bốn hàm số trên, hàm số nào liên tục trên R

Biết ${\int }_0^{2}2x\ln (x+1)dx = a\ln b$ với $a,b\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ và b là số nguyên tố. Tính 6a+7b

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = \frac{1}{2}\left(t^4 + 3t^2\right)$ (t: giây), s được tính bằng m. Vận tốc của chuyển động tại t = 4 (giây) là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn f(2) = -2; ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx = 1$ Tính tích phân $I = {\int }_0^{4}f\text{'}\left(\sqrt{x}\right)dx$

Cho F(x)  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = |1+x| - |1-x| trên tập R và thỏa mãn F(1) = 3 Tính tổng T = F(0) + F(2) + F(-3)

Biết rằng ${\int }_1^2\ln (x+1)dx = a\ln 3+b\ln 2+c$  với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và $\sqrt{3x^2-2}$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{2x-1}$ và f(1) = 1 Giá trị f(5) bằng:

Tính $I = {\int }_0^1{e}^{3x}dx$

Tìm $\int x\cos 2x.dx$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn điều kiện: ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = {\int }_0^1(x+1)e^{x}f\left(x\right)dx = \frac{e^x-1}{4}$ và f(1)=0 Tính giá trị tích phân

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox  hình phẳng giới hạn bới đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}{e}^x$, trục hoành và đường thẳng x = 1 là:

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xdx = a+b\sqrt{3}$ với a,b là các số hữu tỉ. Tính T = 2a+6b

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = e^x + \cos x +2018$ là

Biết m là số thực thỏa mãn ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}x(\cos x + 2m)dx = 2{\mathrm{\pi }}^2+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-1$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f\left(x\right)dx = 9$ Tính ${\int }_0^2\left[f\right(1-3x) + 9]dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$ và các trục tọa độ là:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = (5x+1)e^x$ và F(0) = 3 Tính F(1)

Nếu ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = 3$, ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx = -1$ thì ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx$ bằng:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = e^{2018x}$

Tích phân ${\int }_0^{100}x{e}^{2x}dx$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) là hàm lẻ và liên tục trên [-4;4] biết ${\int }_{-2}^{0}f(-x)dx = 2$ và ${\int }_1^{2}f(-2x)dx = 4$ Tính $I = {\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = e^{x^2}(x^3-4x)$ Hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{x}{4}$; y = 0; x = 1; x = 4 khi quay quanh trục Ox bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = x^2\sqrt{4+x^3}$ là:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 0 ${\int }_0^1{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = 7$, ${\int }_0^1{x}^{2}f\left(x\right)dx = \frac{1}{3}$  Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{1/2} thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) = \frac{2}{2x-1}$; f (0) =1; f (1) =2. Giá trị của biểu thức f(-1)+f(3) bằng:

Biết ${\int }_1^2\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}-c$ với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a+b+c

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi Parabol $y = \sqrt{3}{x}^2$ cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4-x^2}$ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của  (H) bằng:

Tích phân ${\int }_0^2\frac{dx}{x+3}$ bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 3x^2+1$ là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và hai đường thẳng x =a; x=b ( a<b ) Thể tích của khối của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $f\left(x\right) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x$ Tính tích phân $I = {\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{f\left(x\right)}{x}dx$

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phần hình phẳng được tô đậm như hình bên được giới hạn bởi một đồ thị hàm số bậc ba đa thức và một đường thẳng. Diện tích S của phần tô đậm đó bằng bao nhiêu?

Cho phần vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=0 và x=2. Cắt phần vật thể (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x\sqrt{2-x}$. Tính thể tích V của phần vật thể (T).