Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z – 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau.

Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y – z = 0, (R): x + y – z = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.

(H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 và (Q): x + 3y + z + 5 = 0.

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13).

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \). Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|\), hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình x + y + z – 27 = 0.

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0 và (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.

a) Hỏi (α) và (β) có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm M(1; −3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; −3; 5) và song song với (α).

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0), \(C\left( {0;2\sqrt 2 ;0} \right)\). Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn.

a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó.

b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không? (α): 3x + y – z + 1 = 0, (β): 9x + 3y – 3z + 3 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai giá của $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ có mối quan hệ gì?

Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí M₁, M₂, M₃ của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, $t=\frac{\pi }{2}$, t = π.

b) Chứng minh rằng M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃).

c) Vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) hay không?

(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng: A(1; 2; 3), B(−1; 3; 4), C(2; −1; 2).

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (α).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; −4) và vuông góc với trục Oz.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

Dựa vào Hoạt động 4, hãy nêu phương trình của (α).

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + 2 = 0.

a) Điểm A(−2; 1; 0) có thuộc (α) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là một vectơ pháp tuyến của (α) và M₀(x₀; y₀; z₀) là một điểm thuộc (α).

Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).

a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\). Tính \(\overrightarrow M \).

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{u}=\left(2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;6;2\right)$. Tính $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$.

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(a^{\text{'}};b^{\text{'}};c^{\text{'}}\right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow{n}=\left(b{c}^{\text{'}}-b^{\text{'}}c;c{a}^{\text{'}}-c^{\text{'}}a;a{b}^{\text{'}}-a^{\text{'}}b\right)$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay không?

b) $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ có mối quan hệ gì?

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\overrightarrow{n}$ có phương gì? (H.5.1)

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5\left(0\le x\le 30\right)$ (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = x, x = 0 và x = 1.

a) \(\int\limits_1^4 {\left( {{x^3} - 2\sqrt x } \right)dx} \);                                                                    

b) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} \);

c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \);                                                

d) \(\int\limits_1^{16} {\frac{{x - 1}}{{\sqrt x }}dx} \).

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là $v\left(t\right)=-\frac{2t}{5}+4$ (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?