Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc tọa độ, bán kính R = 1.

b) Đường kính AB, với A(1; −1; 2), B(2; −3; −1).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x+2\right)}^2+y^2+{\left(z+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

a) Xác định tâm và bán kính của (S).

b) Hỏi điểm M(2; 0; 1) nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu (S).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính R (H.5.41). Khi đó, một điểm M(x; y; z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện gì?

Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí 10°N, 15°E đến vị trí 80°N, 70°E ta sẽ được khoảng cách 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?

(H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm.

a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên).

b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?

Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$.

Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P): $x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và (Oxz): y = 0.

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P), với: $\Delta :\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{1}$, (P): x – y + z – 1 = 0.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng D và mặt phẳng (P). Xét \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là một vectơ chỉ phương của D và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) (với giá D') là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (D, (P)) và (D, D').

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sin(D, D') và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\)?

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D và D' tương ứng có các vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right),\overrightarrow {u'} = \left( {a';b';c'} \right)\)(H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (D, D') và \(\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)\).

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa cos(D, D') và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right)} \right|\)?

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow v  = \left( {2;1;6} \right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?

a) Mục tiêu đặt tại điểm \(M\left( {7;\frac{7}{2};21} \right)\).

b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{2}$.

a) Chứng minh rằng D₁ và D₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D₁ và D₂.

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là \(\overrightarrow {{v_1}} = \left( {2;1;3} \right)\), \(\overrightarrow {{v_2}} = \left( {1;2;1} \right)\). Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{4}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng D₁ và D₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng D₁ và trục Ox chéo nhau;

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

\({\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D₁; D₂ lần lượt đi qua các điểm A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\) (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) để D₁ và D₂ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) thì D₁ và D₂ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) thì D₁ và D₂ có chéo nhau hay không?

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.,{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\).

Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\).

a) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) có mối quan hệ gì?

b) Tìm điều kiện đối với \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) để ∆₁ và ∆₂ vuông góc với nhau.

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng A₁A₂.

b) Viết phương trình đường thẳng A₁A₂.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;3\right)$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{5}$. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của ∆ và hai điểm thuộc ∆.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc ∆ khi và chỉ khi các phân số \(\frac{{x - {x_0}}}{a},\frac{{y - {y_0}}}{b},\frac{{z - {z_0}}}{c}\) có mối quan hệ gì?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=3t\\ z=1+t\end{array}\right.$.

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc ∆ và một vectơ chỉ phương của ∆.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left(1;3;1\right)$.

Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)\ne \overrightarrow{0}$ và xuất phát từ điểm A(x₀; y₀; z₀) (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Giả sử tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí M(x; y; z). Tính x, y, z theo a, b, c, x₀, y₀, z₀ và t.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Trong không gian, cho điểm M và vectơ $\overrightarrow{u}$ khác vectơ – không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của $\overrightarrow{u}$.

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{u}$.

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2; 3; −4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực \(\overrightarrow F \) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\) (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực \(\overrightarrow F \) có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vectơ moment lực \(\overrightarrow M \) có phương thẳng đứng?