Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$.

Cho $I={\int }_1^{2}2x\sqrt{x^2-1}dx$ và u = x² – 1. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Biết a < b < c, ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx=15$ và ${\int }_b^{c}f\left(x\right)dx=8$. Tính giá trị của $I={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Cho $F\left(x\right)=-\frac{1}{3x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x – 1)².

Tính thể tích V của khối tròn xay nhận được khi quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=\frac{\sqrt{2}y}{y^2+1}$, y = 0, y = 1.

Giả sử hàm số f(x) = (ax² + bx + c).e^–x là một nguyên hàm của hàm số g(x) = x(1 – x).e^–x. Giá trị của biểu thức A = a + 2b + 3c bằng

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x² + x; y = 2x.

Biết a < b < c, ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=5$ và ${\int }_c^{b}f\left(x\right)dx=3$. Tìm giá trị của $I={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$.

Hàm số $F\left(x\right)=e^{x^2}$ là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t² (m/s²). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}$, trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 3.

Cho tích phân $I={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$. Đặt x = sint. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}$.

Cho ${\int }_1^{4}f\left(x\right)dx=9$. Tính tích phân $I={\int }_0^{1}f\left(3x+1\right)dx$.

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le x\le 3\right)$ là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2\sqrt{9-x^2}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{e^x+1}$.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2}{{\left(x-1\right)}^2}$, trục hoành và các đường thẳng x = 2 và x = 8.

Biết hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên R và f(1) = e², ${\int }_1^{\ln 3}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=9-e^2$. Tính f(ln3).

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x}$.

Cho ${\int }_{-1}^{2}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_{-1}^{2}g\left(x\right)dx=-1$. Tính $I={\int }_{-1}^2\left[x+2f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx$.

Tình diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = –x² và đường thẳng y = –x – 2.

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(0\le x\le 2\right)$ là một nủa hình tròn đường kính $\sqrt{5}{x}^2$.

Số a dương để ${\int }_0^a\left(x-x^2\right)dx$ đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho ${\int }_0^{3}f\left(u\right)du=6$, ${\int }_0^{3}g\left(v\right)dv=5$. Tính tích phân $I={\int }_0^3\left[2f\left(x\right)-4g\left(x\right)\right]dx$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{7^{x+1}}{8^x}$.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và ${\int }_2^{5}f\left(x\right)dx=1$. Tính $I={\int }_0^{1}f\left(3x+2\right)dx$.

Cho a, b là hai số dương. Gọi K là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol y = ax² và đường thẳng y = –bx. Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay K quanh trục hoành là một số không phụ thuộc vào giá trị của a và b nếu a và b thỏa mãn diều kiện nào sau đây?

Cho ${\int }_1^{4}f\left(u\right)du=5$, ${\int }_1^{2}f\left(v\right)dv=7$, ${\int }_2^{4}g\left(t\right)dt=7$. Tính tích phân $I={\int }_2^4\left[f\left(x\right)+7g\left(x\right)\right]dx$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x{e}^{x^2}$.

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=1-\frac{1}{x^2}$, trục hoành và đường thẳng x = 1 và đường thẳng x = 2.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x(2x + e^3x).

Cho tam giác giới hạn bởi ba đường y = x, x = 1 và trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay tam giác đó quanh trục Oy.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = e^5x+1.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{\left(\frac{x^3}{18}-1\right)}^5$.

Tìm nguyên hàm $I=\int \frac{x}{{\cos }^{2}x}dx$.

Cho ${\int }_2^{3}f\left(x\right)dx=10$. Tính $I={\int }_2^3\left[4-5f\left(x\right)\right]dx$.

Tìm giá trị thực của m để hàm số F(x) = x³ – (2m – 3)² – 4x + 10 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² – 12x – 4 với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$

Tìm nguyên hàm $I=\int {\tan }^{2}xdx.$