Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

d) y = (x² – x)e^x trên đoạn [0; 1].

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π];

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 6x + 3 trên đoạn [−1; 2];

b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của vius (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số N(t) = −t³ + 12t², 0 £ t £ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) y = (x + 1)e^−x trên đoạn [−1;1].

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 3x² + 5x + 2 trên đoạn [0; 2];

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn [−1; 2] và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)$.

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x ∈ (−1; 2) mà f'(x) = 0.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x₀ sao cho f(x₀) = m.

Cho hàm số y = f(x) = x² – 2x với x ∈ [0; 3], có đồ thị như hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x₀ sao cho f(x₀) = M.

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại x = 0 (xem hình 1.4).

Cho hàm số y = f(x) = |x|.

a) Tính các giới hạn $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại và cực tiểu? Giải thích.

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất y = f'(x) của hàm số f(x) được cho trong hình 1.13.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tính đạo hàm N'(t) và $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N\left(t\right)=\frac{25t+10}{t+5},t\ge 0,$ trong đó N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x}{x^2+1}$.

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$.

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

b) y = −x³ + 2x² – 5x + 3.

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x+1$;

b) Đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]{{\left(x^2-4\right)}^2}$ (H.1.12).

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức : h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t².

Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x⁴ – 3x² + 1;                               

Giải thích vì sao nếu f'(x) không đổi dấu khi x qua x₀ thì x₀ không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

c) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+8x+1$.

a) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) = 0.

Hình 1.9 là đồ thị của hàm số y = f(x). Hãy tìm các cực trị của hàm số

b) Xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

Giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). Hãy tìm vận tốc v(t).