Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = sin 2x và $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=1$ .Tính $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)$

Biết f(x) là hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx=9$. Khi đó giá trị của ${\int }_1^{4}f(3x-3)dx$ là 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^2-7x+5}{x-3}$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\ln x}$,trục hoành, đường thẳng x=1và x=k (k>1)  Gọi $V_k$ là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quay quanh trục Ox. Biết rằng $V_k=\mathrm{\pi }$. Hãy chọn khẳng định đúng?

Cho hàm Số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và ${\int }_0^2\left[f\left(x\right)+2x\right]dx=5$. Tính $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$.

Biết $I={\int }_1^3\frac{3+\ln x}{{(x+1)}^2}dx=a(1+\ln 3)-b\ln 2.$ Khi đó $a^2+b^{2 }$bằng:

Cho F(x) là một nguyên hàm cùa hàm số

f(x) = x + sinx và f(0)=1 . Tìm F(x)

Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=x^3+x+1.$

Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = 0. Biết ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx=\frac{9}{2}$ và $y={\int }_0^{1}f\text{'}\left(x\right)\cos \frac{\mathrm{\pi x}}{2}dx=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$. Tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2$ và nửa đường elip có phương trình $y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}$ (với $-2\le x\le 2$) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng: 

Biết ${\int }_0^{2}2x\ln (x+1)dx=a.\ln b, với a,b \in \mathrm{\mathbb{N}}*$, b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b

Đạo hàm của hàm số $y=3e^{-x}+2018e^{\cos x}$ là:

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x + sin3x , biết $F\left(0\right)=\frac{2}{3}$.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xln x . Tính  F''(x).

Cho $F\left(x\right)=\frac{1}{2x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}.$ Tính ${\int }_1^{e}f\text{'}\left(x\right)\ln xdx$ bằng:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [1;3] thỏa mãn  f(4 - x) = f(x), $\forall x\in \left[1;3\right]$và ${\int }_1^{3}xf\left(x\right)dx=-2.$ Giá trị ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx$ bằng:

Thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$

Cho ${\int }_1^{2}f(x^2+1)xdx=2.$Khi đó $I={\int }_2^{5}f\left(x\right)dx$ bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ thỏa mãn ${\int }_0^{99}f\left(x\right)dx=2$. Khi đó tích phân $I={\int }_0^{\sqrt{e^{99}-1}}\frac{x}{x^2+1}f\left(\ln \right(x^2+1\left)\right)dx$ bằng bao nhiêu?

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx$, với t = sin x thì tích phân I trở thành?

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin x và đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm M(0;1) . Tính $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;3] thỏa mãn f(3) = 0,${\int }_0^3{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=\frac{7}{6} và {\int }_0^3\frac{f\left(x\right)}{\sqrt{x+1}}dx=-\frac{7}{3}$. 

Tích phân ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^5}{x+1}$ là:

Nguyên hàm F(x) của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sin 2\mathrm{x}.{\mathrm{e}}^{{\sin }^2\mathrm{x}}$ là:

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\tan }^{2}x$ là:

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, đường thẳng y = 2 - x và trục hoành. Diện tích hình phẳng sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị trên là

Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi cáy=c đường $y=x^2;y=\sqrt{x}$ quanh trục Ox.

Biết $I={\int }_1^5\frac{dx}{x\sqrt{3x+1}}$được kết quả  I = aln 3 + bln 5 . Giá trị của $2a^2+ab+b^2$ là

Cho (H) là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ được giới hạn bởi các đường có phương trình $y=\frac{10}{3}x-x^2, y=\left\{\begin{array}{l}-x khi x\le 1\\ x-2 khi x>1\end{array}\right.$. Diện tích của (H) bằng

Biết ${\int }_0^1\frac{3x-1}{x^2+6x+9}dx=3\ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6},$trong đó a, b là hai số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a^2-b^2$ bằng

Tính $F\left(x\right)=\int x{e}^{\frac{x}{3}}dx$. Chọn kết quả đúng

Cho ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=-2; {\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=5.$ Khi đó ${\int }_{-1}^{3}2f\left(x\right)dx=?$

Họ nguyên hàm của hàm số $y=x^2-3x+\frac{1}{x}$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol $y=\frac{x^2}{12}$ và đường cong có phương trình $y=\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}$ (hình vẽ). Diện tích của hình phẳng (H) bằng

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi Parabol $y=\frac{x^2}{12}$ và đường cong có phương trình $y=\sqrt{4-\frac{x^2}{4}}$ (hình vẽ). Diện tích của hình phẳng (H) bằng

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số . Hỏi đồ thị của hàm số y = F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng

Biết ${\int }_0^{2}2x\ln (x+1)dx=a\ln b$, với $a,b\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ và b là số nguyên tố. Tính 6a + 7b .

Cho f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và f(2)=16, ${\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=2.$ Tích phân ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng?

Cho f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và f(2)=16, ${\int }_0^{1}f\left(2x\right)dx=2.$ Tích phân ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng?