Chọn mệnh đề đúng: Với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ thì:

Kí hiệu $k!=k\left(k-1\right)...2.1, \forall k\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ đặt $S_n=1.1!+2.2!+...+n.n!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, hãy rút gọn biểu thức  $S=1.4+2.7+...+n\left(3n+1\right)$

Đặt $S_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}$ với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Đặt $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ với $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $2^{n+1}>n^2+3n$

Chứng minh $n^3+3n^2+5n$ chia hết cho 3

Tính tổng:

1.4 + 2.7 + … +n.(3n +1)

Với mọi số tự nhiên $n\ge 2$ bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Với mỗi số nguyên dương n, đặt $S=1^2+2^2+...+n^2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

So sánh $\frac{a^n+b^n}{2}$ và ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n$, với $a\ge 0, b\ge 0$, $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ta được:

Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)...\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{an+2}{bn}$, trong đó a, b là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2$

Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1) là:

Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để $2^n>2n+1$ với mọi số nguyên

Giả sử Q là tập con thật sự của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a) $k\in Q$

b) $n\in Q\Rightarrow n+1\in Q\forall n\ge k$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k+1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến  đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=p$

- Bước 2, giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với số tự nhiên bất kỳ $n=k\ge p$ và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với  $n=k+1$

Trong hai bước trên:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P\left(n\right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n\ge p$ (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P\left(n\right)$ đúng với $n=k$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đối với bài toán chứng minh $P\left(n\right)$ đúng với mọi $n\ge p$ với p là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:

Với $n\in N^{*}$ , ta xét các mệnh đề: $P$ :“ $7^n$ + 5  chia hết cho 2”;

Q: “$7^n$+ 5 chia hết cho 3” và R: “$7^n$+ 5  chia hết cho 6”.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Một học sinh chứng minh mệnh đề "$8^n+1$ chia hết cho 7, $\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$" (*)  như sau:

Giả sử (*) đúng với $n=k$ tức là $8^k$+ 1 chia hết cho 7

Ta có:   ,  kết hợp với giả thiết  chia hết cho 7  nên suy ra được   chia hết cho 7.

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

 Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mọi số nguyên dương n , tổng $S_n=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)$ là: 

Giá trị của tổng là: $S=1-2+3-4+...-2n+\left(2n+1\right)$

Với mọi số tự nhiên n , tổng $S_n=n^3+3n^2+5n+3$ chia hết cho:

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có $u_1=123$ và $u_3-u_{15}=84$. Số hạng $u_{17}$ là

Tổng $1+2+2^2+...+2^{2017}$ có giá trị bằng

Tổng $1+2+2^2+...+2^{2017}$ có giá trị bằng

Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4.{10}^5$ mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

Xét dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp $\left(u_n\right):0;2;4;6;8...$ Số 2018 là số hạng thứ mấy?

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết $u_2=7, u_3=4$

Tìm số thực a để dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{a{n}^2+1}{2n^2+3}$ là dãy số giảm?

Dãy số $\left(u_n\right)$ nào bị chặn trong các dãy số sau khi biết

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_5+u_{19}=90$. Tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng trên.

Cho dãy số có công thức tổng quát là $u_n=2^n$ thì số hạng thứ n + 3 là?

Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_n=2u_{n-1}+3u_{n-2}\end{array}\right.\left(n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\right)$. Khi đó số hạng thứ n+3 là

Cho dãy số  $\left(u_n\right)$ với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_n=\frac{1}{2-u_{n-1}}\end{array}\right. \left(n\ge 2\right)$. Giá trị của $u_4$ bằng

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$ có công bội q. Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bởi công thức nào sau đây

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$, biết $u_1=3$ và $u_6=13$. Tính công sai của cấp số cộng đã cho.

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_1=2, q=3$. Khi đó số hạng thứ 3 của cấp số nhân là