Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại M, N, P sao cho $\overrightarrow{\mathrm{NM}}=2\overrightarrow{\mathrm{NP}}$. Tính $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MA}\text{'}}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và các điểm M, N, P xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{MB}\text{'}}\left(\mathrm{k}\ne 0\right),$$\overrightarrow{\mathrm{NB}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{NC}\text{'}},$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{PD}\text{'}}$. Hãy tính x, y theo k để ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}},$$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}},$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AD}},$$\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$. Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M, N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BD}\text{'}}$bằng?

Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để $\left|\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right|$ nhỏ nhất.

Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{EB}},\overrightarrow{\mathrm{FD}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{FC}}$ còn P, Q, R là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{PD}},$$\overrightarrow{\mathrm{QE}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{QF}},$$\overrightarrow{\mathrm{RB}}=\mathrm{l}\overrightarrow{\mathrm{RC}}$. Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\overrightarrow{,\mathrm{c}}$ không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho hình hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$. M là điểm trên cạnh AD sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$. N là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{BD}}_1$. P là điểm trên đường thẳng ${\mathrm{CC}}_1$ sao cho M, N, P thẳng hàng. Tính $\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{MN}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{NP}}\right|}=\frac{2}{3}$

Trong không gian cho hai tia Ax, By chéo nhau sao cho AB vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm M, N  lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho độ dài đoạn MN luôn bằng giá trị c không đổi (c$\le$AB). Gọi $\mathrm{\phi }$ là góc giữa Ax, By. Giá trị lớn nhất của AM.BN là:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right)$

Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai.

Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{\mathrm{GS}}+\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$ (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi ${\mathrm{G}}_0$ là giao điểm của GA và mp BCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho tứ diện ABCD. Đặt $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{c}},$ gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M, N sao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD,BC lần lượt lấy M,N sao cho AM = 3MD; BN = 3NC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD,BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB = 2MA. N là điểm trên đường thẳng CD mà $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$. Nếu   $\overrightarrow{\mathrm{MN}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ đồng phẳng thì giá trị của k là:

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh AB và G là trọng tâm của tam giác BCD. Đặt $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{c}},\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{d}}$. Phân tích véctơ $\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ theo $\overrightarrow{\mathrm{d}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Cho ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:

Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$. Gọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) cho tứ giác ABCD và một điểm S tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$ không đồng phẳng. Xét các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{x}}=2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}};$$\overrightarrow{\mathrm{y}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}},$$\overrightarrow{\mathrm{z}}=-3\overrightarrow{\mathrm{a}}-2\overrightarrow{\mathrm{c}}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = 6; AD = 4; $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-12$. Tính ${(\overrightarrow{\mathrm{SC}}-\overrightarrow{\mathrm{SA}})}^2$

Cho hình lập phương ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$. Gọi M là trung điểm của AD. Chọn khẳng định đúng:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành ABCD. Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD = AC. Giá tri của cos ($\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{CD}}$) là:

Cho tứ diện đều ABCD, M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$. Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$ đồng phẳng?

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

Cho hình hộp ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ với M = ${\mathrm{CD}}_1\cap {\mathrm{C}}_1\mathrm{D}$. Khi đó:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$. Đặt $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{a}};\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{b}};$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{c}};\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{d}}$ trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng.

Cho ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm O bất kì không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hình lập phương ABCD. ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$, Tìm giá trị của k thích hợp để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{DD}}_1}=\mathrm{k}\overrightarrow{{\mathrm{AC}}_1}$

Cho ba vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$ không đồng phẳng xét các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{x}}=2\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}};$$\overrightarrow{\mathrm{y}}=-4\overrightarrow{\mathrm{a}}+2\overrightarrow{\mathrm{b}};$$\overrightarrow{\mathrm{z}}=-3\overrightarrow{\mathrm{a}}-2\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của các cạnh AB. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng: