Chứng minh rằng:

a) sin x – cos x = \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}\,\,\,\)\(\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Nhận biết công thức cộng

a) Cho \(a = \frac{\pi }{3}\) và \(b = \frac{\pi }{6}\), hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.

b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).

c) Bằng cách viết sin(a – b) = \(\cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\) và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).

Một người đi xe đạp với vận tốc không đổi, biết rằng bánh xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Chứng minh các đẳng thức:

a) cos⁴ α – sin⁴ α = 2cos² α – 1;

b) \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha - 1}}{{{{\sin }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha \).

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) cos α = \(\frac{1}{5}\) và 0 < α < \(\frac{\pi }{2}\);

b) sin α = \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \);

c) tan α = \(\sqrt 5 \) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\);

d) cot α = \( - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \). 

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) \(\frac{{2\pi }}{3}\);

b) \( - \frac{{11\pi }}{4}\);

c) 150°;

d) – 225°.

Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) \(\frac{\pi }{{12}}\);

b) 1,5;

c) 35°;

d) 315°.

Hoàn thành bảng sau:

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

B(t) = 80 + 7sin\(\frac{{\pi t}}{{12}}\),

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Tính:

a) sin(– 675°);

b) \(\tan \frac{{15\pi }}{4}\).

a) Dựa vào định nghĩa của sin α và cos α, hãy tính sin² α + cos² α.

b) Sử dụng kết quả của HĐ6a và định nghĩa của tan α, hãy tính 1 + tan² α.

Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: \(\cos \frac{{3\pi }}{7};\,\,\tan \left( { - 37^\circ 25'} \right)\);

b) Đổi 179°23'30" sang rađian;

c) Đổi \(\frac{7}{9}\) (rad) sang độ.

Cho góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{5\pi }}{6}\).

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1; 0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = \(\frac{{5\pi }}{4}\).

b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON) = \( - \frac{{7\pi }}{4}\).

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo α rad.

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360°; – 450°;

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3π; \( - \frac{{11\pi }}{5}\).

Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là 30° và 45°.

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360°.

Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?