Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi s_n (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s₁ = 200, s_n = s_{n – 1 ­}+ 25 với n ≥ 2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (s_n) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

a) So sánh u_n và 1.

b) So sánh u_n và 2.

a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n – 1. Tính u_{n + 1} và so sánh với u­_n.

b) Xét dãy số (v_n) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính v_{n + 1} và so sánh với v_n.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) cho bởi hệ thức truy hồi

\(\left\{ \begin{array}{l}{F_1} = 1,\,{F_2} = 1\\{F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}\,\,\,\left( {n \ge 3} \right)\end{array} \right.\).

Xét dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng u_n của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới i liên hệ với góc khúc xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng

\(\frac{{\sin i}}{{\sin {\rm{r}}}} = \frac{{{n_2}}}{{{n_1}}}\).

Ở đây, n₁ và n₂ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hóa bởi hàm số

p(t) = 115 + 25sin(160πt),

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.

a) Tìm chu kì của hàm số p(t).

b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.

c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

b) 2sin² x – 1 + cos 3x = 0;

c) \(\tan \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) \(y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1\);

b) y = sin x + cos x.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (sin α + cos α)² = 1 + sin 2α;

b) cos⁴ α – sin⁴ α = cos 2α.

Cho góc α thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);

b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);

c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\);

d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\) là

A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

D. ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.

Đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\)?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 7.

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?

A. y = tan x + x.

B. y = x² + 1.

C. y = cot x.

D. y = \(\frac{{\sin \,x}}{x}\).

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.

B. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [– 1; 1].

C. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.

D. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.

Rút gọn biểu thức M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b), ta được:

A. M = sin 4a.

B. M = 1 – 2 cos² a.

C. M = 1 – 2 sin² a.

D. M = cos 4a.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b.

B. sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.

C. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b.

D. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. sin(π – α) = sin α.

B. cos(π – α) = cos α.

C. sin(π + α) = – sin α.

D. cos(π + α) = – cos α.

Biểu diễn các góc lượng giác \(\alpha = - \frac{{5\pi }}{6}\), \(\beta = \frac{\pi }{3}\), \(\gamma = \frac{{25\pi }}{3}\), \(\delta = \frac{{17\pi }}{6}\) trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?

A. β và γ.

B. α, β, γ.

C. β, γ, δ.

D. α và β.

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình

\(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn ).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\);

b) \(2\cos x = - \sqrt 2 \);

c) \(\sqrt 3 \tan \left( {\frac{x}{2} + 15^\circ } \right) = 1\);

d) \(\cot \left( {2x - 1} \right) = \cot \frac{\pi }{5}\).

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:

a) cos α = – 0,75;

b) tan α = 2,46;

c) cot α = – 6,18.

Giải các phương trình sau:

a) cot x = 1;

b) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\).

a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 3 \tan 2x = - 1\);

b) tan 3x + tan 5x = 0.

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức

\(F = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\).

(Theo trang usno.navy.mil).

Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:

a) F = 0 (trăng mới);

b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);

c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);

d) F = 1 (trăng tròn).

Giải các phương trình sau:

a) 2cos x = \( - \sqrt 2 \);

b) cos 3x – sin 5x = 0.

a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [– π; π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\);

b) sin 3x = – sin 5x.

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0\) và x² – 1 = 0.