Chứng minh rằng nếu phép dời hình F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F lần lượt biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(0; 6), B(6; 3) và điểm M thuộc trục hoành.

a) Xác định điểm C đối xứng với B qua trục hoành.

b) Chứng minh rằng MB = MC.

c) Xác định điểm M sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD, ACE.

a) Xác định ảnh của các điểm D và C quay phép quay tâm A với góc quay φ = 60°.

b) Chứng minh rằng DC = BE.

c) Chứng minh rằng số đo góc giữa hai đường thẳng DC và BE bằng 60°.

Quan sát Hình 45. Xác định các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A₁B₁C₁, tam giác A₁B₁C₁ thành tam giác A₂B₂C₂, tam giác A₂B₂C₂ thành tam giác A₃B₃C₃.

Hình 44 mô tả một viên gạch trang trí hình tam giác đều. Xác định phép quay biến:

a) Cánh hoa màu xanh đỉnh A thành cánh hoa màu xanh đỉnh B.

b) Cánh hoa màu đỏ đỉnh E thành cánh hoa màu đỏ đỉnh D.

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xác định một phép dời hình biến:

a) Tam giác AMQ thành tam giác CPN;

b) Tam giác AMO thành tam giác PCN.

Quan sát Hình 43 và chỉ ra:

a) Một phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó.

b) Một phép dời hình biến mỗi tam giác được tô màu xanh thành tam giác được tô màu vàng.

Quan sát Hình 42 và chỉ ra hai phép dời hình (phân biệt) biến mỗi tam giác được tô màu thành tam giác cùng màu với nó.

Hình 41 là hình viên gạch men.

a) Xác định tâm đối xứng của viên gạch.

b) Xác định các trục đối xứng của viên gạch.

c) Xác định ảnh của viên gạch qua phép quay tâm O (tâm đối xứng của viên gạch) với góc quay φ = 90°.

Trong Hình 40, hình màu xanh là ảnh của hình màu cam qua một phép quay. Xác định tâm và góc quay của phép quay đó.

Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (Hình 39).

a) Tìm phép tịnh tiến biến đường tròn (O₁) thành đường tròn (O₂).

b) Tìm phép đối xứng tâm biến đường tròn (O₁) thành đường tròn (O₂).

c) Tìm phép đối xứng trục biến đường tròn (O₁) thành đường tròn (O₂).

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Xét phép đối xứng tâm O, xác định ảnh của:

a) Trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA;

b) Các đường thẳng AB, AC.

Cho hai đường thẳng d và d' song song với nhau.

a) Chỉ ra một phép tịnh tiến biến d thành d'.

b) Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d'.

Phép đối xứng tâm có là phép quay hay không? Vì sao?

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Xác định phép tịnh tiến biến tam giác AMO thành tam giác ONC.

Quan sát Hình 38a và chứng minh hai hình AMPOE và CQGON bằng nhau.

Quan sát Hình 37.

a) Chỉ ra các phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A1B1C1 và biến tam giác A1B1C1 thành tam giác A2B2C2.

b) Có nhận xét gì về hai tam giác ABC và A2B2C2?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(– 3; 2) bán kính R = 1. Thực hiện phép dời hình f bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-1;3\right)$. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép dời hình nói trên. 

Trong Hình 34, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:

a) Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(5;0\right)$;

b) Đoạn thẳng A2B2 là ảnh của đoạn thẳng A1B1 qua phép đối xứng trục Ox;

c) Đoạn thẳng A3B3 là ảnh của đoạn thẳng A2B2 qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 90°;

d) So sánh độ dài các đoạn thẳng AB, A1B1, A2B2, A3B3.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3) bán kính R = 2. Xác định ảnh của (C) qua phép quay tâm S(– 1; 1) với góc quay φ = 90°.

Xét phép quay tâm O với góc quay 90° (Hình 29).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép quay trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Trong Hình 28, cho các điểm M', N' lần lượt là ảnh của các điểm M, N qua phép quay tâm O với góc quay φ.

a) Hai tam giác OM'N' và OMN có bằng nhau hay không?

b) So sánh hai đoạn thẳng M'N' và MN.

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, qua phép quay tâm O với góc quay – 120°.

Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định. Với mỗi điểm M (M khác O) trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM, OM') = 90° (Hình 26).

Trong mặt phẳng, cho hình tròn tâm O, kí hiệu là ℋ (Hình 22). Xét phép đối xứng tâm Đ_O. Tìm ℋ' = Đ_O(ℋ).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm S(2; 1).

Xét phép đối xứng tâm I (Hình 20).

a) Xác định các điểm A', B', C' là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép đối xứng tâm I.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(x₁; y₁), N(x₂; y₂). Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng tâm O.

a) Xác định tọa độ của hai điểm M' và N'.

b) Viết công thức tính độ dài hai đoạn thẳng MN và M'N', từ đó so sánh hai đoạn thẳng MN và M'N'.

Cho bát giác đều ABCDEGHK với tâm I. Xác định ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng tâm I.

Trong mặt phẳng cho điểm I. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng, hãy xác định điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua điểm I) (Hình 18).

Trong mặt phẳng, cho hình thang cân ABCD, kí hiệu là ℋ. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đáy của hình thang cân đó (Hình 14).

Tìm ℋ' = Đ_d(ℋ).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(3; 2), bán kính R = 2. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Xác định ảnh của cánh sao màu vàng có các đỉnh D, I, P qua phép đối xứng trục d trong Hình 12.

Xét phép đối xứng trục d (Hình 11).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép đối xứng trục d.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(x₁; y₁), N(x₂; y₂). Gọi M', N' lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục Ox.

a) Xác định tọa độ của hai điểm M' và N'.

b) Viết công thức tính độ dài hai đoạn thẳng MN và M'N', từ đó so sánh hai đoạn thẳng MN và M'N'.

Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm M, N, P, Q qua phép đối xứng trục AC.

Trong mặt phẳng cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng và M ∉ d, hãy xác định điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' (hay M' là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d) (Hình 9).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}=\left(3;4\right)$.

Xét phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{MN}$ (Hình 5).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ và hai điểm M, N. Giả sử M' = $T_{\overrightarrow{u}}\left(M\right),N\text{'}=T_{\overrightarrow{u}}\left(N\right)$.

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{N{N}^{\text{'}}}$ theo $\overrightarrow{u}$.

b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{MN}$.

c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.