Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 - \cos x} \) là

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

D. ℝ.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 2a = 2sin a cos a.

B. cos 2a = cos² a – sin² a.

C. cos 2a = 1 – 2sin² a.

D. tan 2a = \(\frac{{2\tan a}}{{1 + {{\tan }^2}a}}\).

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. \(\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).

B. \(\cos u - \cos v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).

C. \(\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\).

D. \(\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}\).

Biết cot x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{4\sin x + 5\cos x}}{{2\sin x - 3\cos x}}\) bằng

A. \(\frac{1}{{17}}\).

B. \(\frac{5}{9}\).

C. 13.

D. \(\frac{2}{9}\).

Biết sin x = \(\frac{1}{2}\). Giá trị của cos² x bằng

A. \({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).

B. \({\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

C. \({\cos ^2}x = \frac{1}{4}\).

D. \({\cos ^2}x = \frac{3}{4}\).

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. sin(180° – a) = – cos a.

B. sin(180° – a) = – sin a.

C. sin(180° – a) = sin a.

D. sin(180° – a) = cos a.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\).

B. \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x\).

C. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x\).

D. \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x\).

Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin α < 0; cos α > 0.

B. sin α > 0; cos α > 0.

C. sin α < 0; cos α < 0.

D. sin α > 0; cos α < 0. 

Giá trị \(\cot \frac{{89\pi }}{6}\) bằng

A. \( - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\sqrt 3 \).

C. \( - \sqrt 3 \).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo α mà \(\widehat {uOv}\) là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để \(\frac{\pi }{2} + k2\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \).

B. \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\).

C. \( - \frac{\pi }{2} < \alpha \le \frac{{3\pi }}{2}\).

D. \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).

Đổi số đo góc α = 105° sang rađian ta được

A. \(\alpha = \frac{{5\pi }}{8}\).

B. \(\alpha = \frac{\pi }{8}\).

C. \(\alpha = \frac{{7\pi }}{{12}}\).

D. \(\alpha = \frac{{9\pi }}{{12}}\).

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

\(L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right)\) với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

\(y = 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)\)

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) \(y = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) và \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(y = \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right)\) và \(y = \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) cos⁶ x – sin⁶ x = 0;

d) tan 2x cot x = 1. 

Giải các phương trình sau:

a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0;

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\);

c) tan x + cot x = 0;

d) sin x + tan x = 0.

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin \left( {\frac{x}{3} + 15^\circ } \right) + \sqrt 2 = 0\);

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = - 1\);

c) 3tan 2x + \(\sqrt 3 \) = 0;

d) cot (2x – 3) = cot 15°.

Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức

\(S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),

ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.

a) Tìm độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.

b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà?

c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?

Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh

vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.

Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:

a) sin x = 0;                                b) sin x > 0. 

Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) sao cho:

a) sin x = 0;                                b) sin x > 0. 

Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) y = – cos x;

b) y = |cos x|;

c) y = cos x + 1;

d) \(y = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)\).

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) tan x cot x = 1;

b) 1 + tan² x = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\);

c) 1 + cot² x = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\);

d) tan x + cot x = \(\frac{2}{{\sin 2x}}\).

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;

b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;

c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x;

d) \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{x^3}}}\);

b) y = x – sin 3x;

c) \(y = \sqrt {1 + \cos x} \);

d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = \(2\sqrt {\sin x} \) + 1;

c) y = 3 cos² x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = cot 3x;

b) \[y = \sqrt {1 - \cos 4x} \];

c) \(y = \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\);

d) \(y = \sqrt {\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}} \).

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = \(4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}\).

Chứng minh rằng:

a) \(\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\);

b) \(\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\).

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \sin \frac{\pi }{9} - \sin \frac{{5\pi }}{9} + \sin \frac{{7\pi }}{9}\);

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Chứng minh đẳng thức sau

\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).

Cho cos 2x = \( - \frac{4}{5}\) với \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\).

Tính sin x, cos x, \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\), \(\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\).

Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.

Rút gọn biểu thức

A = 2cos⁴ x – sin⁴ x + sin² x cos² x + 3 sin² x.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos⁴ x – sin⁴ x = 2 cos² x – 1;

b) tan² x – sin² x = tan² x . sin² x;

c) (sin x + cos x)² + (sin x – cos x)² = 2. 

Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.

a) sin a cos a;

b) sin³ a + cos³ a;

c) sin⁴ a + cos⁴ a.

Cho cos x = \( - \frac{5}{{13}}\) (90° < x < 180°). Tính các

giá trị lượng giác còn lại của góc x.

Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:

a) \(\frac{{2\pi }}{7}\);              b) 36°.