Quan sát khai triển nhị thức của (a + b)n với n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triển trong trường hợp tổng quát.

Tính chất của các số $C_n^k$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b $=C_1^{0}a+C_1^{0}b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² $=C_2^0{a}^2+C_2^{1}ab+C_2^0{b}^2$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ $=C_3^0{a}^3+C_3^1{a}^{2}b+C_3^{2}a{b}^2+C_3^0{b}^3$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

(a + b)¹

(a + b)²

(a + b)³

(a + b)⁴

(a + b)⁵

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0+C_1^1$ và $C_2^1,$ $C_2^0+C_2^1$ và $C_3^1\mathrm{,...}$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ và $C_n^k.$

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a + b)⁷.

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (2x – 1)⁴.

Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

Khai triển (a + b)n, n $\in$ {1; 2; 3; 4; 5}.

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Với n $\in$ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Ta sẽ “lập luận” bằng quy nạp toán học đề chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đều có cùng màu”. Ta gọi P(n) với n nguyên dương là mệnh đề sau: “Mọi con mèo trong một đàn gồm n con đều có cùng màu”.

Bước 1. Với n = 1 thì mệnh đề P(1) là “Mọi con mèo trong một đàn gồm 1 con đều có cùng màu”. Hiền nhiên mệnh đề này là đúng!

Bước 2. Giả sử P(k) đúng với một số nguyên dương k nào đó. Xét một đàn mèo gồm k + 1 con. Gọi chúng là M1, M2, ..., Mk + 1. Bỏ con mèo Mk + 1 ra khỏi đàn, ta nhận được một đàn mèo gồm k con là M1, M2, ... , Mk. Theo giả thiết quy nạp, các con mèo có cùng màu. Bây giờ, thay vì bỏ con mèo Mk + 1 ta bỏ con mèo để có đàn mèo gồm k con là M2, M3, ..., Mk + 1. Vẫn theo giả thiết quy nạp thì các con mèo M2, M3, ..., Mk + 1 có cùng màu. Cuối cùng, đưa con mèo M1 trở lại đàn để có đàn mèo ban đầu. Theo các lập luận trên: các con mèo M1, M2, ..., Mk có cùng màu và các con mèo M2, M3, ..., Mk + 1 có cùng màu. Từ đó suy ra tất cả các con mèo M1, M2, ... , Mk + 1 đều có cùng màu.

Vậy, theo nguyên lí quy nạp thì P(n) đúng với mọi số nguyên dương n. Nói riêng, nếu gọi N là số mèo hiện tại trên Trái Đất thi việc P(N) đúng cho thấy tất cả các con mèo (trên Trái Đất) đều có cùng màu!

Tất nhiên là ta có thề tìm được các con mèo khác màu nhau! Theo em thì “lập luận” trên đây sai ở chỗ nào?

Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$

Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}.$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh rằng n2 – n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Chứng minh rằng n³ – n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) p(n) = n2 – n + 11 là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n;

b) n2 > n với mọi số tự nhiên n ≥ 2.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1);

b) 12 + 22 + 32 +... + n2 = $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}.$

Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thề thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.

a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T1, T2, T3 mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.

b) Dự đoán công thức tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tn mà người đó thu được sau n kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}).

Xét đa thức p(n) = n2 – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Hãy quan sát các đẳng thức sau:

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

......

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên 1 + 3 + 5 + ... + (2n –1).

Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N : P : K cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón :

Bao 1 có tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12.

Bao 2 có tỉ lệ N : P : K là 6 : 30 : 25.

Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.

Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15?

Chú ý rằng trên mỗi bao phân người ta thường viết một tỉ lệ N : P : K nhất định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12 nghĩa là hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm 12%, lân P (tức là P2O5 ) chiếm 7% và kali K (tức là K2O ) chiếm 12%, còn các loại khác chiếm 100% – (12% + 7% + 12%) = 69%.

Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, I1, I2 và I3 là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết R1 = 6 Ω, R2 = 8 Ω, I = 3 A và I3 = 2 A. Tính điện trở R3 và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.

Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy methane trong oxygen

CH₄ + O₂ → CO₂ + H₂O.

Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phồ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mối em lớp 10 C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?

Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.

Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức : Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lăii suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau :$\left\{\begin{array}{l}{Q}_{S_1}=-4+x;Q_{D_1}=70-x-2y-6z;\\ Q_{S_2}=-3+y;Q_{D_2}=76-3x-y-4z;\\ Q_{S_3}=-6+3z;Q_{D_3}=70-2x-3y-2z.\end{array}\right.$

Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.

Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng). Ki hiệu QS1, QS2 và Qs3 là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y và z. Kí hiệu QD1, QD2 và QD3 tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x, y và z. Cụ thể các hàm này được cho bởi $\left\{\begin{array}{l}{Q}_{S_1}=-300+x;Q_{D_1}=1300-3x+4y-z;\\ Q_{S_2}=-450+3y;Q_{D_2}=1150+2x-5y-z;\\ Q_{S_3}=-400+2z;Q_{D_3}=900-2x-3y+4z\end{array}\right.$

Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.

Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá của 1 kg thịt lợn, 1 kg thịt bò và 1 kg thịt gà, ở đây x, y, z > 0 và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu :

QS1 là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x.

QS2 là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y.

QS3 là lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z.

QD1 là lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.

QD2 là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.

QD3 là lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.

a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn điều kiện gì để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí nhất?

b) Viết hệ phương trình ràng buộc giữa x, y, z để người bán và người mua cùng hài lòng.

Trong kinh tế học người ta gọi :

– Các hàm QS1, QS2 và QS3 phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cung (supply function);

– Các hàm QD1, QD2 và QD3 phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cầu (demand function);

– Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{Q}_{S_1}=Q_{D_1}\\ Q_{S_2}=Q_{D_2}\\ Q_{S_3}=Q_{D_3}\end{array}\right.$  gọi là hệ phương trình cân bằng cung – cầu.

Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy octane trong oxygen

C₈H₁₈ + O₂ → CO₂ + H₂O.

Bài toán sản xuất gà giống. Trong trang trại sản xuất gà giống, việc lựa chọn tỉ lệ giữa gà trống và gà mái rất quan trọng. Nếu quá nhiều gà trống thì không hiệu quả kinh tế, nếu ít gà trống quá thì ảnh hưởng đến hiệu quả sản xuất gà giống. Các nghiên cứu chỉ ra rằng tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản xuất gà giống hiệu quả nhất là 1:10,5. Một đàn gà trường thành có tồng số 3 000 con, trong đó tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là 5:3. Cần chuyền bao nhiêu gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để hiệu quả cao nhất?

Gọi số gà trống trong đàn gà là x, số gà mái trong đàn gà là y, số gà trống cần chuyển sang mục đích nuôi lấy thịt là z.

a) Điều kiện của x, y và z là gì?

b) Từ giả thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất ràng buộc x, y và z, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

c) Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$.

a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ x-y+z=2\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ x+2y+z=5\\ -x+y=2\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.$;

d) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.$;

e) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ 4x-y+z=11\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.$;

f) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ 5x-y-2z=3\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.$.

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=20\\ x+y=-5\\ x=10\end{array};\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-z=3\\ x+3z=-7\end{array}.\right.$

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\left\{\begin{array}{ll}x-2z& =4\\ 2x+y-z& =5\\ -3x+2y& =-6\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=7\\ 2x-y^2+z=2\\ x+2y=-1\end{array}\right.$.

Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3.

Dùng máy tính cầm tay đề tìm nghiệm của hệ:

Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?