Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí P ⇔ Q.

Xét hai mệnh đề dạng P ⇒ Q sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng 60⁰”

“Nếu a = 2 thì a² – 4 = 0”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề Q ⇒ P và xét tính đúng sai của nó.

Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”;

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Mệnh đề P ⇒ Q có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo hai cách khác nhau.

Xét hai mệnh đề sau:

(1) Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân;

(2) Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2.

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Mỗi mệnh đề trên đều có dạng “Nếu P thì Q”. Chỉ ra P và Q ứng với mỗi mệnh đề đó.

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh;

b) 23 là số nguyên tố;

c) 2 021 chia hết cho 3;

d) Phương trình x² – 3x + 4 = 0 vô nghiệm.

Xét các cặp mệnh đề nằm cùng dòng của bảng (có hai cột P và $\overline{P}$) sau đây:

Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) P(x): “x² = 2”;

b) Q(x): “x² + 1 > 0”;

c) R(n): “n + 2 chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

Xét câu “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên).

a) Có thể khẳng định câu trên là đúng hay sai không?

b) Tìm hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định đúng, hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định sai.

Xét tính đúng sai của mệnh đề sau:

a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới;

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) $\sqrt{2}$ là số vô tỉ;

b) $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{10}}>2$;

c) 100 tỉ là số lớn nhất;

d) Trời hôm nay đẹp quá!

Xét các câu sau đây:

(1) 1 + 1 = 2.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện cho nhân loại.

(3) Dơi là một loài chim.

(4) Nấm có là một loài thực vật không?

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.

(6) Trời ơi, nóng quá!

Trong những câu trên,

a) Cây nào là khẳng định đúng, câu nào là khẳng định sai?

b) Câu nào không phải khẳng định?

c) Câu nào là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai?

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{cc}-x+2y-3z& =2\\ 2x+y+2z& =-3\\ -2x-3y+z& =5\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{ll}x-3y+z& =1\\ 5y-4z& =0\\ x+2y-3z& =-1\end{array}\right.$

c) $\left\{\left\{\begin{array}{cc}x+y-3z& =-1\\ 3x-5y-z& =-3\\ -x+4y-2z& =1\end{array}\right.\right.$

Ba nhãn hiệu bánh quy là A, B, C được cung cấp bởi một nhà phân phối. Với tỉ lệ thành phần dinh dưỡng theo khối lượng, bánh quy nhãn hiệu A chứa 20% protein, bánh quy nhãn hiệu B chứa 28% protein và bánh quy nhãn hiệu C chứa 30% protein. Một khách hàng muốn mua một đơn hàng như sau:

- Mua tổng cộng 224 cái bánh quy bao gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C.

- Lượng protein trung bình của đơn hàng này (gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C) là 25%.

- Lượng bánh nhãn hiệu A gấp đôi lượng bánh nhãn hiệu C.

Tính lượng bánh quy mỗi loại mà khách hàng đó đặt mua.

Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quần âu và áo phông. Ngày thứ nhất bán được 22 áo sơ mi, 12 quần âu và 18 áo phông, doanh thu là 12 580 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quần âu và 20 áo phông, doanh thu là 10 800 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quần âu và 12 áo phông, doanh thu là 12 960 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phông là bao nhiêu? Biết giá từng loại trong ba ngày không thay đổi.

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một parabol và độ cao h của quả bóng được tính bởi công thức $h=\frac{1}{2}a{t}^2+v_{0}t+h_0,$ trong đó độ cao h và độ cao ban đầu được tính bằng mét, t là thời gian của chuyển động tính bằng giây, a là gia tốc của chuyển động tính bằng m/s², v₀ là vận tốc ban đầu được tính bằng m/s. Tìm a, v₀, h₀ biết sau 0,5 giây quả bóng đạt được độ cao 6,075 m; sau 1 giây quả bóng đạt độ cao 8,5 m; sau 2 giây quả bóng đạt độ cao 6 m.

Bác Thanh chia số tiền 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 84 triệu đồng. Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15% và số tiền đầu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba. Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản.

Tìm số đo ba góc của một tam giác, biết tổng số đo của góc thứ nhất và góc thứ hai bằng hai lần số đo của góc thứ ba, số đo của góc thứ nhất lớn hơn số đo của góc thứ ba là 20^o.

Giải hệ phương trình:

$\mathrm{a}) \left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}-\mathrm{y}-2\mathrm{z}=5\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+3\mathrm{z}=6\\ 6\mathrm{x}-\mathrm{y}-4\mathrm{z}=9;\end{array}\right.$

$\mathrm{b}) \left\{\begin{array}{r}\mathrm{x}+2\mathrm{y}+6\mathrm{z}=5\\ -\mathrm{x}+\mathrm{y}-2\mathrm{z}=3\\ \mathrm{x}-4\mathrm{y}-2\mathrm{z}=1;\end{array}\right.$

$\mathrm{c}) \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+4\mathrm{y}-2\mathrm{z}=2\\ -3\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=-2\\ 5\mathrm{x}+7\mathrm{y}-5\mathrm{z}=6.\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình:

$\mathrm{a}) \left\{\begin{array}{ll}\mathrm{x}-2\mathrm{y}+4\mathrm{z}& =4\\ 3\mathrm{y}-\mathrm{z}& =2\\ 2\mathrm{z}& =-10;\end{array}\right.$

$\mathrm{b}) \left\{\begin{array}{ll}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}-5\mathrm{z}& =-7\\ 2\mathrm{y}& =4\\ \mathrm{y}+\mathrm{z}& =3;\end{array}\right.$

$\mathrm{c}) \left\{\begin{array}{ll}\mathrm{x}+\mathrm{y}+2\mathrm{z}& =0\\ 3\mathrm{x}+2\mathrm{y}& =2\\ \mathrm{x}& =10.\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{ll}x+2y-z& =-4\\ x-2y+2z& =9\\ 2x+y-z& =-2\end{array}\right.$(IV)

Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{r}x+2y-z=-4\\ 4y-3z=-13\left(2\right)\\ -5z=-15\left(3\right)\end{array}\right.$ (III)

Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tương đương.

Cho phương trình: 2x + y – 3z = 1 (1).

a) Nêu các ẩn của phương trình (1).

b) Với mỗi ẩn của phương trình (1), xác định bậc của ẩn đó.

Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán về Trâu ăn cỏ như sau:

Trâu đứng ăn năm,

Trâu nằm ăn ba,

Lụ khụ trâu già,

Ba con một bó,

Trăm con ăn cỏ,

Trăm bó no nê.

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

Làm việc chung cả lớp.

- Nhiệm vụ 1: Các nhóm báo cáo kết quả.

- Nhiệm vụ 2: Tổng kết rút kinh nghiệm.

Thực hiện tạo dựng dụng cụ đo góc có gắn tia chiếu laze.

Tạo dựng các thành phần theo mô hình như Hình 12: phần đế, phần thân, phần biểu diễn góc, tia.

Thực hành đo góc

Bước 1. Quay đèn sao cho tia laze trùng với một cạnh của góc cần đo. Điều chỉnh bề mặt thước đo góc sao cho kim chỉ góc màu đỏ chỉ vào vị trí 0°.

Bước 2. Giữ nguyên thước đo góc. Quay đèn sao cho tia laze trùng với cạnh thứ hai của góc cần đo. Kim chỉ góc màu đỏ chỉ vào số nào thì số đó là số đo của góc cần đo.

Học sinh được chia nhóm. Các nhóm chuẩn bị thiết bị và trao đổi, thảo luận.

- Chuẩn bị (Hình 11): đèn chiếu laze, pin, công tắc, thước đo góc 360°, que kem, que gỗ tròn, bìa cát tông.

- Xác định rõ nhiệm vụ của mỗi nhóm và từng nhiệm vụ thành phần.

- Phân công nhiệm vụ cho các thành viên trong nhóm.

- Xác định thời gian hoàn thành từng nhiệm vụ thành phần và nhiệm vụ chung.

a) Nhiệm vụ: Tìm số đo góc trong ba tình huống thực tế sau:

Tình huống 1: Có một chiếc bảng  treo trên tường nhưng cạnh đáy của bảng nằm trên mặt sàn lớp học. Tìm số đo của góc trong Hình 7 và Hình 8 bằng cách sử dụng thước đo góc 180° (Hình 9) hoặc thước đo góc 360° (Hình 10), biết điểm gốc O ở trên mặt sàn lớp học.

Quan sát những hình ảnh về góc trong một số tình huống sau đây và nêu cách xác định những góc đó.

a) Tình huống 1: Góc sút

Trong bóng đá, khi cầu thủ đá phạt, “góc sút” được hiểu là góc tạo bởi hai tia có gốc là điểm đặt bóng, lần lượt nối gốc với hai chân của khung thành (Hình 1).

b) Tính huống 2: Góc nhìn

Khi lái xe, góc nhìn của tài xế giới hạn bởi hai tia (Hình 2):

Góc nhìn (vùng được tô màu) diễn tả vùng ta quan sát được. Vì ta không thể trông thấy các vật ở ngoài góc nhìn nên vùng không tô màu được gọi là vùng mù (hay vùng các điểm mù). Góc nhìn càng lớn ta càng thấy nhiều sự vật hơn và càng lái xe an toàn hơn.

Các góc có ý nghĩa gì trong thực tiễn.

Hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$  cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $\left(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\right)=\alpha$   làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\overrightarrow{F}$  làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$  làm cho vật di chuyển).

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\widehat{BAD}=60°$  (Hình 73).

a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC}$  theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AC}$ .

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$   với E là điểm bất kì;

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{IN}=2\overrightarrow{MN}$  với M, N là hai điểm bất kì;

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{NG}$  với M, N là hai điểm bất kì.