Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ \[\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} \] có độ dài ngắn nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4), \(\overrightarrow c \) = (–5; 3).

Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b + \overrightarrow c .\)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4), \(\overrightarrow c \) = (–5; 3).

Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b ,\) \(\overrightarrow b .\overrightarrow c ,\) \(\overrightarrow c .\overrightarrow a .\)

Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0.\]

Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {CM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {CM} \] theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \[\overrightarrow {AD} .\]

Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thẳng hàng.

Cho tứ giác lồi ABCD không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho \[\overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {BC} ,\] \[\overrightarrow {BB'} = 2\overrightarrow {CA} .\] Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]

a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)

b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và \[\widehat {CAB} = 60^\circ .\]

Lấy các điểm M, N thoả mãn \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và \[\widehat {CAB} = 60^\circ .\]

Tính tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\]

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt \[\overrightarrow {GB} = \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow {GC} = \overrightarrow v .\] Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v :\) \[\overrightarrow {GA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {GM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {GN} .\]

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M, N không trùng với B và C sao cho BM = MN =NC.

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)

Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn \[\left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} --\overrightarrow {AC} } \right|\] là

Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng \[\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NP} \] bằng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(–1; 5) và C(3m; 2m –1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB ⊥ OC là

Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và \[\widehat {ABC} = 60^\circ .\] Tích vô hướng \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} \] bằng