Chứng minh rằng \(C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0\).

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}\);

b) \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}\);

c) \({\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}\).

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b) \({\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}\).

Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a) \(C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81\);

b) \(C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1\).

Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2y)⁵.

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của \(C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3\) (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

(a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³ =  = a⁴ + a³b² + a²b² + ab³ + b⁴.

Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\), rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Ở Trung học cơ sở, ta quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và lượt về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên?

Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể có về kết quả bầu ủy ban này?

Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?

a) 3 bạn được chọn bất kì;

b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6.

b) 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Cần sắp xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.

a) Có bao nhiêu cách xếp?

b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A_{15}^{10}\);

b) \(C_{10}^6 + C_{10}^7 + C_{11}^8\);

c) \(C_5^1.C_{20}^2 + C_5^2.C_{20}^2\).

Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như Hình 8.

Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.

Tính:

a) \(C_7^2\);

b) \(C_9^0 + C_9^9\);

c) \(C_{15}^3 - C_{14}^3\).

Lan vừa mua 4 cuốn sách, kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn về quê đọc trong dịp hè.

Từ bảy chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, lập các số có ba chữ số đôi một khác nhau.

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Tại một trạm quan sát, có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tin hiệu, người ta chọn 3 lá cờ và cằm vào ba vị trí có sẵn thành một hàng (xem Hình 4).

Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như Hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội.

a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra.

b) Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài các đếm lần lượt từng kết quả, có cách nào tìm nhanh hơn không?

Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ? Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 cầu thủ đó theo thứ tự để thực hiện đá luân lưu? Bằng cách sử dụng quy tắc nhân, bạn có tìm được câu trả lời?

Học xong bài học này, bạn hãy tìm cách nhanh hơn để trả lời các câu hỏi trên.

An có thể đi từ nhà đến trường theo các con đường như Hình 11, trong đó có những con đường đi qua nhà sách.

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ?

Tại một nhà hàng chuyên phục vụ cơm trưa văn phòng, thực đơn có 5 món chính, 3 món phụ và 4 loại đồ uống. Tại đây thực khách có bao nhiêu cách chọn bữa trưa gồm món chính, món phụ và một loại đồ uống?

Tung đồng thời một đồng xu và một con xúc xắc, nhận được kết quả là mặt xuất hiện trên đồng xu (sấp hay ngửa) và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Tính số kết quả có thể xảy ra.

b) Vẽ sơ đồ hình cây và liệt kê tất cả các kết quả đó.

Một thùng chứa 6 quả dưa hấu, một thùng khác chứa 15 quả thanh long. Từ hai thùng này,

a) có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu hoặc một quả thanh long?

b) có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long?

Trong phần khởi động đầu bài học này, nếu công ty có 2 500 nhân viên thì số mã như vậy có đủ để cấp cho mỗi nhân viên một mã số riêng hay không?

Có nhiều nhất bao nhiêu đoạn phân tử RNA khác nhau chứa 4 phân tử nucleotide trong đó:

a) không có nucleotide A nào?

b) có nucleotide A nằm ở vị trí đầu tiên?

Một mẫu xe ô tô có 4 màu ngoại thất là trắng, đen, cam và bạc. Mẫu xe này cũng có hai màu nội thất là đen và xám.

a) Khách hành có bao nhiêu lựa chọn về màu ngoại thất và nội thất khi mua một chiếc xe mẫu này?

b) Hãy vẽ sơ đồ hình cây để giải thích cho kết quả tính toán ở trên.

An có 3 chiếc áo và 4 chiếc quần thể thao. An muốn chọn một bộ quần áo trong số đó để mặc chơi thể thao cuối tuần này.

a) Vẽ vào vở và hoàn thành sơ đồ hình cây như Hình 4 để thể hiện tất cả các khả năng mà An có thể lựa chọn một bộ quần áo.

b) An có bao nhiêu cách lựa chọn bộ quần áo? Hãy giải thích.

Hà có 5 cuốn sách khoa học, 4 cuốn tiểu thuyết và 3 cuốn truyện tranh (các sách khác nhau từng đôi một). Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đó để đọc. Nam có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để mượn.

Trong một cửa hàng kem có 5 loại kem que và 4 loại kem ốc quế như Hình 1. Có bao nhiêu cách chọn mua một loại kem que hoặc kem ốc quế ở cửa hàng này?

Một công ty dự kiến tạo các mã số nhân viên, mỗi mã số có ba kí tự gồm một chữ cái tiếng Anh viết hoa đứng trước hai chữ số. Tuy nhiên, họ băn khoăn rằng số mã số như vậy có đủ để cấp cho mỗi nhân viên của họ một mã số riêng hay không. Họ cần làm gì để biết được điều đó?