Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right)$, $B\left(2;1;0\right)$, $C\left(-3;-1;1\right)$. Gọi $D\left(a;b;c\right)$ là điểm sao cho ABCD là hình thang có cạnh đáy AD và diện tích hình thang ABCD bằng 4 lần diện tích tam giác ABC. Tính a+b+c.

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $0<y<2023$ và $3^x+3x-6=9y+{\log }_3{y}^3?$

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^5+b{x}^3+cx,\left(a>\mathrm{0,}b>0\right)$ thỏa mãn $f\left(3\right)=-\frac{2}{3};f\left(9\right)=90.$ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho $\underset{\left[-1;5\right]}{\max }\left|g\left(x\right)\right|+\underset{\left[-1;5\right]}{\min }\left|g\left(x\right)\right|=86$ với $g\left(x\right)=f\left(1-2x\right)+2.f\left(x+4\right)+m.$ Tổng của tất cả các phần tử của S bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-\left(2m-1\right)x^2+\left(2-m\right)x+2$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=f\left(\left|x\right|\right)$ có 5 điểm cực trị là $\left(\frac{a}{b};c\right)$ (với $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $M=a+2b+3c$ là

Cho $x,y,z\in ℝ$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=2\\ x+y+z=2\end{array}\right.$ và hàm số $f\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x\right)\ln 2$.

Đặt hàm số $g\left(x\right)=2{022}^{f\left(x\right)+x-\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)}-2{023}^{\left(x-1+\sqrt{3}\right)\ln \left(x-1+\sqrt{3}\right)-f\left(x\right)-x}$. Số nghiệm thực của phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ là

Cho hàm số f xác định, đơn điệu giảm, có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $3{\left[f\left(x\right)\right]}^2=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left[8{\left(f\left(t\right)\right)}^3+{\left(f^{\text{'}}\left(t\right)\right)}^3\right]\text{d}t+x,\forall x\in ℝ$. Tích phân $\underset{0}{\overset{12}{\int }}\left(12+f\left(x\right)\right)\text{d}x$ nhận giá trị trong khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho bất phương trình ${\log }_7\left(x^2+2x+2\right)+1>{\log }_7\left(x^2+6x+5+m\right)$. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi $x\in \left[1;3\right]$.

Biết $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}\text{d}x=a+b\ln 3+c\ln 5$ $\left(a,b,c\in \mathbb{Q}\right)$. Giá trị của $a+2b+3c$ bằng:

Cho khối chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện. Đặt $V_1$ là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và $V_2$ là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD. Tỉ số $\frac{V_2}{V_1}$ là

Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là 20cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 10cm (Hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (Hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu bằng $a-\sqrt[3]{b}$ (đơn vị (cm), với a,b là các số thực dương). Tìm a+b.

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khi đó phương trình $f\left(x\right)+1=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng:

Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$  có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là

Tìm tập nghiệm S  của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)<{\log }_{\frac{1}{2}}\left(2x-1\right).$

Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình $x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình của mặt cầu?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên với $a,b,c\in ℝ$. Tính giá trị của biểu thức $T=a-3b+2c$.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;0),B(0;0;1),C(2;1;1) Diện tích của tam giác ABC bằng

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=2a, tam giác ABC  vuông cân tại A và $AB=a\sqrt{2}$ (minh họa như hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Cho ${\log }_{a}b=3$, ${\log }_{a}c=-2$. Khi đó ${\log }_a\left(a^3{b}^2\sqrt{c}\right)$ bằng bao nhiêu?

Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho $\underset{0}{\overset{m}{\int }}\left(3x^2-2x+1\right)\text{d}x=6$. Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{1}{x}$ trên $\left(-\infty ;0\right)$ thỏa mãn $F\left(-2\right)=0$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,AB =a, biết thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V=\frac{4a^3}{3}$. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và B'C'.

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\sqrt{x}.e^{x^2},$ trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục hoành.

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có B'C=3a, đáy ABC vuông cân tại B, $AC=a\sqrt{2}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=x{\left(1-x\right)}^2{\left(3-x\right)}^3{\left(x-2\right)}^4$ với mọi $x\in ℝ$. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước $a;a\sqrt{3};2a$ là:

Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và chiều cao bằng $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ là

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ là đường thẳng có phương trình

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+5x$ với trục hoành là

Cho hình trụ có bán kính đáy R = 8 và độ dài đường sinh l = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào?

Đạo hàm của hàm số $y=7^x$ trên R là

Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 20 học sinh?

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn [0;2].

Tập xác định của hàm số $y={\left(x-1\right)}^{\frac{1}{5}}$ là

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left(0;1;-1\right),B\left(2;3;2\right)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có toạ độ là

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có tâm I(1;-4;3), bán kính $R=3\sqrt{2}$ là