Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi $S_1$ là tổng diện tích ba quả bóng bàn,$S_2$là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng

Cho hai số phức $z_1=1-i,z_2=5i-3$. Phần ảo của số phức $w=z_1\cdot {\overline{z}}_2+z_2$ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)>-3$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{2x+1}\ge 64$ là

Trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, đạo hàm của hàm số $y=x^e$ là

Phần thực của số phức $z=3-\left(2i-4\right)$ là

Cho $\int \frac{1}{x^2}\text{d}x=F\left(x\right)+C$ với $x\ne 0$ và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đạo hàm của hàm số $y=9^x+2023$ là:

Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

của đồ thị hàm số đã cho là:

Cho mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left(P\right):x-2z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là:

Đồ thị của hàm số $y=\frac{2x-4}{x+1}$ cắt trục hoành tại điểm nào dưới đây?

Môđun của số phức $z=-3+4i$ bằng:

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)\text{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g\left(x\right)\text{d}x=-1$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^2\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{d}x$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+5}{2-x}$ là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2-4t\\ z=3-5t\end{array}\right.$ đi qua điểm nào dưới đây?

Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?

Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?

Trên tập hợp số phức, xét phương trình bậc hai $z^2-2\left(2m-3\right)z+m^2=0=0$  (với m là số thực). Tính tổng tất cả các giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$  thỏa mãn $2\left(z_1\left|z_2\right|+z_2\left|z_1\right|\right)=\left|z_1{z}_2\right|.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{2}$  và ${\Delta }^{\text{'}}:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-2}{2}$ . Mặt phẳng $\left(P\right):2x+my+nz+p=0$ (m; n; p $\in ℝ$) chứa đường thẳng $\Delta$  tạo với đường thẳng $\Delta \text{'}$  một góc lớn nhất. Khi đó tích của m; n; p bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại đỉnh A và D. Biết độ dài AB = 4a, AD = 3a, CS = 5a và tam giác SBC đều và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $60°.$ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=8$  và điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ . Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác OAB.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm liên tục trên $ℝ$  và thỏa mãn $f\left(x\right)+f^{\text{'}}\left(x\right)=2x{\text{e}}^x$, $\forall x\in ℝ$ ; $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2f\left(x\right)$ ; $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$  và trục tung bằng

Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn $0\le x\le 2023$  và $1\le y\le 2023$  và $4^{x+1}+{\log }_2\left(y+3\right)=2^{y+4}+{\log }_2\left(2x+1\right).$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-2023;2023\right)$  để hàm số  $y=\left|8^x-3\left(m+2\right)4^x+3m\left(m+4\right)2^x\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;2\right)$?

Cho hình trụ có tâm hai đường tròn đáy lần lượt là O và O’, bán kính đáy hình trụ bằng a. Trên đường tròn đáy (O) và (O’) lần lượt lấy hai điểm A, B sao cho AB tạo với trục của hình trụ một góc $30°$  và có khoảng cách đến trục của hình trụ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Tính thể tích khối chop O.O’AB.

Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,4%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo (lãi kép). Hỏi sau ít nhất n năm $\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$  thì người đó có được số tiền nhiều hơn 200 triệu đồng.

Cho số phức z thỏa mãn $\left(2-i\right)z-\left(2+i\right)\overline{z}=2i$ . Giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$  bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA bằng 2a. Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

Trong không gian, cho vật thể (T) được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = -1 và x = 1. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành x, $(x \in [-1;1] )$là một hình vuông có cạnh bằng $2\sqrt{1 - x^2}$ . Thể tích của vật thể (T) bằng:

Cho phương trình ${{\log }_3}^2\left(3x\right) + {\log }_3\left(x\right) + m - 1$(m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1)?

Cho hàm số $y = m{x}^4 + (m - 1)x^2 + 1 - m$ . Tìm tất cả các giá trị của m tham số  để hàm số chỉ có một điểm cực trị.

Cho đồ thị của hàm số $\left(C\right):y=f\left(x\right)$  như hình vẽ. Biết (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $x=-1;x=1;x=2$  và diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right);Ox;x=-1;x=1$  bằng $S_1=15$  và hai diện tích hình phẳng giới bởi $\left(C\right);Ox;x=1;x=2$   bằng $S_2=3$ .

Số phức $z=a+bi$ , $\left(a,b\in ℝ\right)$  có điểm biểu diễn như hình vẽ bên. Tìm a,b .

Số phức liên hợp của $z=1-2i$ là