Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB

Giải Toán 9 Luyện tập trang  111, 112

Video Giải Bài 24 trang 111 Toán lớp 9 tập 1

Bài 24 trang 111 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB = 24cm. Tính độ dài OC.

Lời giải:

a)

Gọi H là giao điểm của OC và AB

Xét đường tròn (O) có

$OH\perp AB$ tại H mà OH là 1 phần của đường kính và AB là dây của đường tròn

Do đó, H là trung điểm của AB (do đường kính vuông góc với một dây không đi qua tâm thì đi qua trung điểm của dây ấy)

$\Rightarrow HA=HB=\frac{1}{2}AB$

Mà ta lại có: $OC\perp AB$ tại H, do đó, OC là đường trung trực của AB

$\Rightarrow CB=CA$ (tính chất đường trung trực)

Xét tam giác CBO và tam giác CAO có:

CO chung

CA = CB (chứng minh trên)

OB = OA = R (do B, A nằm trên đường tròn (O))

Do đó, tam giác CBO và tam giác CAO bằng nhau theo trường hợp cạnh cạnh cạnh.

$\Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}$ 

Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên có:

$$\begin{gathered} AC\perp OA\Rightarrow \widehat{CAO}={90}^o \\ \Rightarrow \widehat{CBO}=\widehat{CAO}={90}^o \end{gathered}$$

Tức là CB vuông góc với OB, mà OB là bán kính của đường tròn (O)

Do đó, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

b)

Ta có: OA = OB = R = 15cm

$HA=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12$ (cm) (chứng minh phần a)

Xét tam giác HOA vuông tại H (do $OC\perp AB$ tại H)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} O{A}^2=O{H}^2+H{A}^2 \\ \Rightarrow O{H}^2=O{A}^2-H{A}^2 \\ ={15}^2-{12}^2=81 \\ \Rightarrow OH=\sqrt{81}=9 \left(cm\right) \end{gathered}$$

Xét tam giác BOC vuông tại B (do CB vuông góc với OB tại B – chứng minh phần a) có đường cao OH.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$$\begin{gathered} O{B}^2=OC.OH \\ \Rightarrow OC=\frac{O{B}^2}{OH} \end{gathered}$$

$=\frac{{15}^2}{9}=25$ (cm)

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 25 trang 112 Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R...