Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x\sqrt{\ln x}, x=e$ và trục hoành là

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y=3^x,y=0,x=0,x=2$. Đường thẳng x=t (0<t<2) chia (H) thành hai phần có diện tích S₁ và S₂ (như hình vẽ). Tìm t để S₁ = 3S₂

Tìm giá trị của a để $I={\int }_1^a\frac{x^3-2\ln x}{x^2}dx=\frac{1}{2}+\ln 2$ 

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S₁ = $\frac{8}{3}$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích S₂ = $\frac{5}{12}$(tham khảo hình vẽ bên). Tính $I={\int }_{-1}^{0}f(3x+1)dx$.

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R Biết rằng ${\int }_1^{e^3}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx=7, {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(\cos x\right)\sin xdx=3$.Tính tích phân  $I={\int }_1^3\left(f\right(x)+2x)dx$

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số  $f\left(x\right)=\frac{3+\cos 4\mathrm{\pi x}}{4}, F\left(4\right)=2$ 

Cho hàm f(x) có đạo hàm trên đoạn $[0;\mathrm{\pi }], \mathrm{f}\left(0\right)=\mathrm{\pi }, {\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=3\mathrm{\pi }$. Tính $f\left(\mathrm{\pi }\right)$

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=$4x^3-1$ là

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số $y=x^4-2x^2+1$ tiếp tuyến D của (C) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục hoành. Quay D xung quanh trục hoành tạo thành một khối tròn xoay có thể tích V được tính theo công thức

Cho biết ${\int }_1^3\frac{dx}{e^x-1}=a\ln (e^2+e+1)-2b$ với a, b là các số nguyên. Tính K=a+b

Tích phân ${\int }_1^2\frac{x\ln xdx}{{\left(x^2+1\right)}^2}dx$ = aln2 + bln3 + cln5 (với a,b,c là các số hữu tỉ). Tính tổng a+b+c 

Một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^x$ là                                                     

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;4], biết f(4)=3, f(1)=1 . Tính ${\int }_1^{4}2f\text{'}\left(x\right)dx$.

Ông Bình có một mảnh đất hình dạng là một phần tư elíp (hình vẽ), OA = 8m, OB = 5m. Ông đã bán với giá 100 triệu đồng trên 1 mét vuông. Hỏi ông Bình bán mảnh đất đó được bao nhiêu tiền?

Biết ${\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}.\ln x}{x}dx=\frac{a}{b}$; trong đó a, b là 2 số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2^{3x}$