Câu hỏi:
17/06/2026 291
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.
Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ (do P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM).
Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.
Xét ∆ABN và ∆MNB có:
AN = BM, \[\widehat {ANB} = \widehat {MBN}\](hai góc so le trong do BM // AN), cạnh BN chung
Do đó ∆ABN = ∆MNB (c.g.c). Suy ra AB = MN (hai cạnh tương ứng0
Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi.
Suy ra AM ⊥ BN, do đó \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).
Hình bình hành PMQN có \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) nên PMQN là hình chữ nhật.
Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.
Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ (do P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM).
Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.
Xét ∆ABN và ∆MNB có:
AN = BM, \[\widehat {ANB} = \widehat {MBN}\](hai góc so le trong do BM // AN), cạnh BN chung
Do đó ∆ABN = ∆MNB (c.g.c). Suy ra AB = MN (hai cạnh tương ứng0
Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi.
Suy ra AM ⊥ BN, do đó \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).
Hình bình hành PMQN có \(\widehat {MPN} = 90^\circ \) nên PMQN là hình chữ nhật.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB = 2 cm, \(\widehat {MAD} = 30^\circ \).
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB = 2 cm, \(\widehat {MAD} = 30^\circ \).
Câu 4:
Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật là:
A. BD = AC.
B. AB ⊥ BC.
C. BD ⊥ AC.
D. AB = CD.
Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác EFGH là hình chữ nhật là:
A. BD = AC.
B. AB ⊥ BC.
C. BD ⊥ AC.
D. AB = CD.
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 8 cm. Độ dài đường chéo AC là:
A. \(4\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).
B. \(8\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).
C. \(2\sqrt 8 {\rm{\;cm}}\).
D. \(4\sqrt 8 {\rm{\;cm}}\).
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 8 cm. Độ dài đường chéo AC là:
A. \(4\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).
B. \(8\sqrt 2 {\rm{\;cm}}\).
C. \(2\sqrt 8 {\rm{\;cm}}\).
D. \(4\sqrt 8 {\rm{\;cm}}\).
Câu 6:
Một công ty dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máy ở địa điểm C trên bờ đến một địa điểm B trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm A trên đảo với địa điểm B, địa điểm C lần lượt là 9 km, 15 km; AB vuông góc với BC (minh hoạ ở Hình 27).
Giá làm 1 km đường ống là 5 000 đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm C đến địa điểm B là bao nhiêu đồng? Biết 1 đô la Mỹ bằng 23 635 đồng (ngày 01/01/2023 theo nguồn https://www.google.com/finance/quote).
Một công ty dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máy ở địa điểm C trên bờ đến một địa điểm B trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm A trên đảo với địa điểm B, địa điểm C lần lượt là 9 km, 15 km; AB vuông góc với BC (minh hoạ ở Hình 27).
Giá làm 1 km đường ống là 5 000 đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm C đến địa điểm B là bao nhiêu đồng? Biết 1 đô la Mỹ bằng 23 635 đồng (ngày 01/01/2023 theo nguồn https://www.google.com/finance/quote).
Câu 7:
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 3\widehat B\). Số đo các góc của hình bình hành ABCD là:
A. \(\widehat A = \widehat C = 120^\circ ,\widehat C = \widehat D = 60^\circ \).
B. \(\widehat A = \widehat D = 45^\circ ,\widehat B = \widehat C = 135^\circ \).
C. \(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ,\widehat B = \widehat D = 45^\circ \).
D. \(\widehat A = \widehat D = 135^\circ ,\widehat B = \widehat C = 45^\circ \).
Cho hình bình hành ABCD có \(\widehat A = 3\widehat B\). Số đo các góc của hình bình hành ABCD là:
A. \(\widehat A = \widehat C = 120^\circ ,\widehat C = \widehat D = 60^\circ \).
B. \(\widehat A = \widehat D = 45^\circ ,\widehat B = \widehat C = 135^\circ \).
C. \(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ,\widehat B = \widehat D = 45^\circ \).
D. \(\widehat A = \widehat D = 135^\circ ,\widehat B = \widehat C = 45^\circ \).
Câu 8:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Tìm điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF (bỏ qua giả thiết \(\widehat D = 45^\circ \)).
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Tìm điều kiện của hình thang cân ABCD để E là trung điểm của BF (bỏ qua giả thiết \(\widehat D = 45^\circ \)).
Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ = JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK = KH.
Chứng minh BC = BD + CE.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ = JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK = KH.
Chứng minh BC = BD + CE.
Câu 10:
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.
Câu 11:
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.
Câu 12:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ = JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK = KH.
Chứng minh A là trung điểm của DE.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HJ vuông góc với AB tại J và HK vuông góc với AC tại K. Trên tia HJ lấy điểm D sao cho DJ = JH. Trên tia HK lấy điểm E sao cho EK = KH.
Chứng minh A là trung điểm của DE.
Câu 13:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.
Câu 14:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Chứng minh: DE = CF; DE ⊥ CF.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.
Chứng minh: DE = CF; DE ⊥ CF.
Câu 15:
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Đường thẳng qua D và song song với AE cắt AH tại F. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, \(\widehat D = 45^\circ \). Kẻ AH vuông góc với CD tại H. Lấy điểm E thuộc cạnh CD sao cho HE = DH.
Đường thẳng qua D và song song với AE cắt AH tại F. Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
