Câu hỏi:
11/07/2026 36
(0,5 điểm) Cho \(a,b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\).
(0,5 điểm) Cho \(a,b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\), do đó \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))
Đặt \(x = a + b\), suy ra \(2ab = {x^2} - 1\).
Mặt khác \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\)
Suy ra \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(1 \ge {x^2} - 1\) suy ra \({x^2} \le 2\).
Ta có \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\).
Do đó, \({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\), do đó \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))
Đặt \(x = a + b\), suy ra \(2ab = {x^2} - 1\).
Mặt khác \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\)
Suy ra \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(1 \ge {x^2} - 1\) suy ra \({x^2} \le 2\).
Ta có \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\).
Do đó, \({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x - 3\) và \(\left( {d'} \right):y = 2x - \left( {m - 1} \right)\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) trùng nhau?
Phần 3. (2,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Trong các câu từ 15 đến 18, hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bài làm mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x - 3\) và \(\left( {d'} \right):y = 2x - \left( {m - 1} \right)\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {d'} \right)\) trùng nhau?
Câu 2:
c) Gọi \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) tia \(HB\) cắt \(EF\) tại \(K.\) Chứng minh \(DK \bot BH.\)
c) Gọi \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC,\) tia \(HB\) cắt \(EF\) tại \(K.\) Chứng minh \(DK \bot BH.\)
Câu 3:
Cho các miếng bìa sau.
Miếng bìa nào sau khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tứ giác đều?
Cho các miếng bìa sau.
Câu 4:
d) Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = - x + 9\) tại điểm có tung độ là \(5\) thì \(m = \frac{{12}}{5}.\)
d) Để \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \(y = - x + 9\) tại điểm có tung độ là \(5\) thì \(m = \frac{{12}}{5}.\)
Câu 5:
Một hộp có \(50\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số sau \(1;2;3;4,....;49;50,\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là vừa là bình phương của một số và vừa chia hết cho \(3\)”.
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Một hộp có \(50\) chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số sau \(1;2;3;4,....;49;50,\) hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Số trên thẻ được rút ra là vừa là bình phương của một số và vừa chia hết cho \(3\)”.
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Câu 7:
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi \(B\) là biến cố: “Gieo được mặt có số chấm là số chẵn”. Xác suất của biến cố \(B\) là
Câu 8:
a) Có \(21\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh”.
a) Có \(21\) kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh”.
Câu 9:
d) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút mực xanh và ghi số chia hết cho 3” là \(\frac{2}{{15}}.\)
d) Xác suất của biến cố “Chiếc bút được lấy ra là bút mực xanh và ghi số chia hết cho 3” là \(\frac{2}{{15}}.\)
Câu 10:
Đỉnh Fansipan (Lào Cai) cao \(3143{\rm{ m,}}\) là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều dài \(60{\rm{ cm,}}\)chiều cao \(90{\rm{ cm}}\) (như hình).
Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu? (đơn vị: cm2)
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đỉnh Fansipan (Lào Cai) cao \(3143{\rm{ m,}}\) là đỉnh núi cao nhất Đông Dương. Trên đỉnh núi, người ta đặt một chóp làm bằng inox có dạng hình chóp tam giác đều dài \(60{\rm{ cm,}}\)chiều cao \(90{\rm{ cm}}\) (như hình).
Hỏi tổng diện tích các mặt bên của hình chóp bằng bao nhiêu? (đơn vị: cm2)
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Câu 11:
Trong tam giác vuông dưới đây, có \(BC = 3{\rm{ cm; }}CD = 2{\rm{ cm; }}AC = n;AD = m.\)
Tính giá trị của \({m^2} - {n^2}.\)
Trong tam giác vuông dưới đây, có \(BC = 3{\rm{ cm; }}CD = 2{\rm{ cm; }}AC = n;AD = m.\)
Tính giá trị của \({m^2} - {n^2}.\)
Câu 13:
Phân thức \(\frac{{2xy}}{{3{x^2}y}}\) bằng phân thức nào trong các phân thức sau?
Câu 14:
a) Chứng minh \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC\) và \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\).
a) Chứng minh \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC\) và \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC}\).
