Câu hỏi:
17/06/2026 336
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆BAC và ∆CDE ᔕ ∆CAB;
b) BF . BA + CE . CA = BC2.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác BDA vuông ở D và tam giác BFC vuông ở F có:
\(\widehat {ABC}\) chung.
Do đó, ∆BDA ᔕ ∆BFC (góc nhọn). Suy ra \(\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\).
Suy ra \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).
Xét tam giác BDF và tam giác BAC có:
\(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)
\(\widehat {ABC}\) chung
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆BAC (c.g.c).
Tam giác CDA vuông ở D và tam giác CEB vuông ở E có:
\(\widehat {ACB}\) chung
Do đó, ∆CDA ᔕ ∆CEB (góc nhọn).
Nên \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{BC}}\).
Suy ra \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\).
Tam giác CDE và tam giác CAB có:
\(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\)
\(\widehat {ACB}\) chung
Do đó, ∆CDE ᔕ ∆CAB (c.g.c).
b)
Theo chứng minh phần a ta có:
\(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) nên BF . BA = BD . BC;
\(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên CE . CA = CD . BC.
Suy ra BF . BA + CE . CA = BD . BC + CD . BC = BC.(BD + CD) = BC . BC = BC2.
Vậy BF . BA + CE . CA = BC2.
Lời giải
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB.
Tam giác BDA vuông ở D và tam giác BFC vuông ở F có:
\(\widehat {ABC}\) chung.
Do đó, ∆BDA ᔕ ∆BFC (góc nhọn). Suy ra \(\frac{{BD}}{{BF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\).
Suy ra \(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\).
Xét tam giác BDF và tam giác BAC có:
\(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\)
\(\widehat {ABC}\) chung
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆BAC (c.g.c).
Tam giác CDA vuông ở D và tam giác CEB vuông ở E có:
\(\widehat {ACB}\) chung
Do đó, ∆CDA ᔕ ∆CEB (góc nhọn).
Nên \(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{CA}}{{BC}}\).
Suy ra \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\).
Tam giác CDE và tam giác CAB có:
\(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\)
\(\widehat {ACB}\) chung
Do đó, ∆CDE ᔕ ∆CAB (c.g.c).
b)
Theo chứng minh phần a ta có:
\(\frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) nên BF . BA = BD . BC;
\(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CE}}{{BC}}\) nên CE . CA = CD . BC.
Suy ra BF . BA + CE . CA = BD . BC + CD . BC = BC.(BD + CD) = BC . BC = BC2.
Vậy BF . BA + CE . CA = BC2.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a) HA . HD = HB . HE = HC . HF;
b) ∆AFC ᔕ ∆AEB và AF . AB = AE . AC;
c) ∆BDF ᔕ ∆EDC và DA là tia phân giác của góc EDF.
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
a) ∆ABC ᔕ ∆HAC và CA2 = CH . CB.
b) \(\frac{{AH}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{AB}}\).
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM . AB = AH2 và AM . AB = AN . AC.
b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
a) AM . AB = AH2 và AM . AB = AN . AC.
b) ∆AMN ᔕ ∆ACB.
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
a) Chứng minh rằng CM ⊥ DN.
b) Biết AB = 4 cm, hãy tính diện tích tam giác ONC.
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:
a) ∆ANP ᔕ ∆HBA và ∆MCN ᔕ ∆MPB;
b) \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\).
Câu 6:
Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:
a) BC2 + 3BA2 = 4BM2 và B'C'2 + 3B'A'2 = 4B'M'2;
b) Nếu \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\) thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.
Cho ABC và A'B'C' lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A'. Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của AC và A'C'. Chứng minh rằng:
a) BC2 + 3BA2 = 4BM2 và B'C'2 + 3B'A'2 = 4B'M'2;
b) Nếu \(\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}\) thì ∆ABC ᔕ ∆A'B'C'.
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng AB = 6 cm và AC = 8 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
Câu 8:
Hãy liệt kê ba cặp tam giác vuông trong Hình 9.10 đồng dạng và giải thích chúng đồng dạng dựa theo trường hợp nào của hai tam giác vuông đồng dạng ?
Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP có MN = MP = 4 cm và NP = \(4\sqrt 2 \) cm. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP.
Câu 10:
Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng.
(1) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.
(2) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.
(3) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.
(4) Một góc nhọn của tam giác này phụ với một góc nhọn của tam giác kia.
(5) Một cạnh huyền của tam giác này bằng một cạnh huyền của tam giác kia.
(6) Một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.
Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng.
(1) Một góc nhọn của tam giác này bằng một góc nhọn của tam giác kia.
(2) Một cạnh góc vuông của tam giác này bằng một cạnh góc vuông của tam giác kia.
(3) Hai cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.
(4) Một góc nhọn của tam giác này phụ với một góc nhọn của tam giác kia.
(5) Một cạnh huyền của tam giác này bằng một cạnh huyền của tam giác kia.
(6) Một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác này tỉ lệ với một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác kia.
Câu 11:
Cho tứ giác ABCD như Hình 9.11. Biết rằng \(\widehat {BAD} = \widehat {BDC} = 90^\circ \), AD = 4 cm, BD = 6 cm và BC = 9 cm. Chứng minh rằng BC // AD.
