Câu hỏi:
11/07/2026 69
Cho tam giác \[KBC\] vuông tại \[K\,\,\left( {KB < KC} \right).\] Tia phân giác của \[B\] cắt cạnh \[KC\] tại \[H.\] Qua \[C\] vẽ đường thẳng vuông góc với tia \[BH\] cắt đường thẳng \[BH\] tại \[I.\]
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: \(C{I^2} = IH \cdot IB\).
c) Tia BK cắt tia \[CI\] tại \[A,\] tia \[AH\] cắt \[BC\] tại \[D.\] Chứng minh \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD.\]
Cho tam giác \[KBC\] vuông tại \[K\,\,\left( {KB < KC} \right).\] Tia phân giác của \[B\] cắt cạnh \[KC\] tại \[H.\] Qua \[C\] vẽ đường thẳng vuông góc với tia \[BH\] cắt đường thẳng \[BH\] tại \[I.\]
a) Chứng minh: .
b) Chứng minh: \(C{I^2} = IH \cdot IB\).
c) Tia BK cắt tia \[CI\] tại \[A,\] tia \[AH\] cắt \[BC\] tại \[D.\] Chứng minh \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD.\]
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:
\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]; \[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó .
b) Từ câu a: suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))
Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).
Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:
\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)
\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó .
Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).
d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]
Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]
Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên
\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].
Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\). (1)
Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]
Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].
Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:
\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]; \[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó .
b) Từ câu a: suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))
Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).
Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:
\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)
\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó .
Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).
d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]
Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]
Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên
\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].
Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\). (1)
Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]
Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].
Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Câu 3:
Một hộp đựng 5 thẻ được đánh số \[3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,11\,;\,\,13.\]
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5”.
b) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1”.
Một hộp đựng 5 thẻ được đánh số \[3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,11\,;\,\,13.\]
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5”.
b) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1”.
Câu 4:
Cho tam giác \[DEF\] đồng dạng với tam giác \[HKI\]. Tỉ số nào sau đây là đúng?
Câu 5:
Cho \[\left( {{d_m}} \right):y = mx + 2.\] Kết luận nào sau đây là đúng?
Câu 7:
Hiện nay, mẹ Lan hơn Lan \[20\] tuổi. Sau \[5\] năm nữa, nếu số tuổi của Lan là \(x\) (tuổi) thì số tuổi của mẹ Lan hiện nay là
Câu 8:
1. Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = - 3x + 5\].
2. Hàm chi phí đơn giản nhất là hàm chi phí bậc nhất \(y = ax + b,\) trong đó \(b\) biểu thị chi phí cố định của hoạt động kinh doanh và hệ số \(a\) biểu thị chi phí của mỗi mặt hàng được sản xuất. Giả sử rằng một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là 36 triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là \(1,8\) triệu đồng.
a) Viết công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày.
b) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp trong ngày, nếu chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng?
1. Vẽ đồ thị của các hàm số \[y = - 3x + 5\].
2. Hàm chi phí đơn giản nhất là hàm chi phí bậc nhất \(y = ax + b,\) trong đó \(b\) biểu thị chi phí cố định của hoạt động kinh doanh và hệ số \(a\) biểu thị chi phí của mỗi mặt hàng được sản xuất. Giả sử rằng một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là 36 triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là \(1,8\) triệu đồng.
a) Viết công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày.
b) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp trong ngày, nếu chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng?
Câu 10:
Cho hình thang \[ABCD\,\,\left( {AB\,{\rm{// }}CD} \right)\] có \[O\] là giao điểm hai đường chéo. Qua \[O\] kẻ đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[AD\] và \[BC\] lần lượt tại \[E\] và \[H.\]Chứng minh \[OE = OH.\]
Câu 11:
Phúc gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê lại kết quả các lần gieo ở bảng sau:
Mặt
1 chấm
2 chấm
3 chấm
4 chấm
5 chấm
6 chấm
Số lần xuất hiện
8
9
9
5
6
13
Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là
Phúc gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê lại kết quả các lần gieo ở bảng sau:
|
Mặt |
1 chấm |
2 chấm |
3 chấm |
4 chấm |
5 chấm |
6 chấm |
|
Số lần xuất hiện |
8 |
9 |
9 |
5 |
6 |
13 |
Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là
Câu 12:
1. Giải các phương trình sau:
a) \[6x + 7 = 3x--2\]; b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\).
2. Một cửa hàng ngày chủ nhật tăng giá tất cả các mặt hàng thêm \[20\% .\] Sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật. Một người mua hàng tại cửa hàng đó trong ngày thứ hai phải trả tất cả là \[24\,\,000\] đồng. Người đó vẫn mua các sản phẩm như vậy nhưng vào thời điểm trước ngày chủ nhật thì phải trả bao nhiêu tiền?
1. Giải các phương trình sau:
a) \[6x + 7 = 3x--2\]; b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\).
2. Một cửa hàng ngày chủ nhật tăng giá tất cả các mặt hàng thêm \[20\% .\] Sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật. Một người mua hàng tại cửa hàng đó trong ngày thứ hai phải trả tất cả là \[24\,\,000\] đồng. Người đó vẫn mua các sản phẩm như vậy nhưng vào thời điểm trước ngày chủ nhật thì phải trả bao nhiêu tiền?
