Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là $\frac{\pi }{3}$ . Một khối cầu $\left(S_1\right)$ nội tiếp trong khối nón. Gọi  $S_2$ là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $S_1$ ; $S_3$ là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với $S_1$;..;$S_n$  là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với $S_{n-1}$ . Gọi $V_1,V_{2,}{V}_{3,}.....,V_{n-1},V_n$ ,  lần lượt là thể tích của khối cầu $S_1,S_{2,}{S}_{3,}.....,S_{n-1},S_n$ , và V là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức $T=lim\frac{V_1+V_2+...+V_n}{V}$ .

Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây?

Cho hai mặt cầu  $\left(S_1\right)$có tâm $I_1$ , bán kính $R_1=1$, $\left(S_2\right)$ có tâm  $I_2$ bán kính $R_2$ = 5. Lần lượt lấy hai điểm $M_1,M_2$ thuộc hai mặt cầu $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$. Gọi K là trung điểm $M_1{M}_2$ . Khi $M_1{M}_2$ di chuyển trên $\left(S_1\right),\left(S_2\right)$ thì K quét miền không gian là một khối tròn xoay có thể tích bằng?

Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2; 3; 3; 2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

Người ta thả một viên bi sắt có dạng khối cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng

Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương không có nắp. Khi thả một khối cầu kim loại đặc vào trong hình lập phương thì thấy khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương đó. Tính bán kính của khối cầu, biết thể tích nước còn lại trong hình lập phương là 10. Giả sử các mặt của hình lập phương có độ dày không đáng kể.

Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1 . Trên hai tia Ox,Oy lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ?

Gọi r , R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Tính tỉ số $\frac{R}{r}$ ?

Một khối đồ chơi bao gồm khối trụ và khối lăng trụ tam giác đều được xếp chồng lên nhau như hình vẽ.

Biết rằng bán kính đáy khối trụ bằng chiều cao khối trụ, chiều cao khối trụ bằng chiều cao của lăng trụ. Gọi $V_1 và V_2$  lần lượt là thể tích của khối trụ và khối lăng trụ. Tính $\frac{V_1}{V_2}$.  

Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right) và \left(S_2\right)$ đồng tâm I, có bán kính lần lượt là $R_1=2 và R_2=\sqrt{10}$ . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B  nằm trên  $\left(S_1\right)$ và hai đỉnh C , D  nằm trên $\left(S_2\right)$ . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a,BC=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Cho hình chóp S.ABC có AC = a, AB = $a\sqrt{3}, \widehat{BAC}={150}^{\circ }$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thế tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM bằng

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính của quả banh. Gọi $\left(S_1\right)$ là tổng diện tích của ba quả banh, $\left(S_2\right)$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích  $\frac{S_1}{S_1}$là

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R . M là điểm thỏa mãn IM = $\frac{3R}{2}$ . Hai mặt phẳng (P),(Q) qua M và tiếp xúc với (S) lần lượt tại A và B. Biết góc giữa (P) và (Q) bằng  ${60}^{\circ }$. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

Cho mặt cầu (S):${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=25$ và hai điểm A(3;-2;6) , B(0;1;0). Giả sử $\left(\alpha \right):ax+by+cz-2=0$  đi qua A , B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+b^2+c^3$

Một cây thông Noel có dạng hình nón với chiều dài đường sinh bằng 60cm và bán kính đáy r = 10cm. Một chú kiến bắt đầu xuất phát từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu. Tính quãng đường ngắn nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu?