Câu hỏi:
17/06/2026 718
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Chứng minh các tứ giác BOCF và BDKE đều là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Chứng minh các tứ giác BOCF và BDKE đều là hình vuông.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
• Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ \).
Do BE // AC suy ra \(\widehat {OBF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong).
Xét ∆DBC vuông tại C có: \(\widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {CBD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Xét ∆BCE vuông tại C có: \(\widehat {CBE} + \widehat {CEB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CBE} = 90^\circ - \widehat {CBE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Tam giác BDE có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBC} + \widehat {CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) và \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Suy ra tam giác BDE vuông cân tại B nên BD = BE
Tam giác BCE vuông tại C có \(\widehat {CBE} = \widehat {CEB} = 45^\circ \), suy ra nên là tam giác vuông cân tại C. Do đó BC = EC
Xét ∆BCF và ∆ECF có:
BC = EC, BF = EF (do F là trung điểm của BE), cạnh CF chung
Do đó ∆BCF = ∆ECF (c.c.c). Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ \).
Tứ giác BOCF có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên BOCF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.
• Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.
Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.
Hình bình hành BDKE có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) nên BDKE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.
• Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra \(\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ \).
Do BE // AC suy ra \(\widehat {OBF} = \widehat {DOC}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {CBE} = \widehat {ACB} = 45^\circ \) (hai góc so le trong).
Xét ∆DBC vuông tại C có: \(\widehat {CDB} + \widehat {CBD} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CDB} = 90^\circ - \widehat {CBD} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Xét ∆BCE vuông tại C có: \(\widehat {CBE} + \widehat {CEB} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {CBE} = 90^\circ - \widehat {CBE} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
Do đó \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Tam giác BDE có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBC} + \widehat {CBE} = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \) và \(\widehat {CDB} = \widehat {BEC} = 45^\circ \)
Suy ra tam giác BDE vuông cân tại B nên BD = BE
Tam giác BCE vuông tại C có \(\widehat {CBE} = \widehat {CEB} = 45^\circ \), suy ra nên là tam giác vuông cân tại C. Do đó BC = EC
Xét ∆BCF và ∆ECF có:
BC = EC, BF = EF (do F là trung điểm của BE), cạnh CF chung
Do đó ∆BCF = ∆ECF (c.c.c). Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ \).
Tứ giác BOCF có \(\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) nên BOCF là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BOCF có OB = OC nên BOCF là hình vuông.
• Ta có: BC = CD và BC = CE nên CD = CE.
Tứ giác BDKE có hai đường chéo BK và DE cắt nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên BDKE là hình bình hành.
Hình bình hành BDKE có \(\widehat {DBE} = 90^\circ \) nên BDKE là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật BDKE có BD = BE nên BDKE là hình vuông.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Tứ giác CDOF có thể là hình vuông không? Vì sao?
Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho BC = CK. Từ điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt tia DC tại E. Gọi F là trung điểm của BE.
Tứ giác CDOF có thể là hình vuông không? Vì sao?
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh I thuộc đường thẳng BD.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh I thuộc đường thẳng BD.
Câu 3:
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
AC ⊥ HF.
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
AC ⊥ HF.
Câu 4:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh tam giác AEF là tam giác vuông cân.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Chứng minh tam giác AEF là tam giác vuông cân.
Câu 5:
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tứ giác EFHD là hình gì? Vì sao?
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tứ giác EFHD là hình gì? Vì sao?
Câu 6:
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác EFHD là hình vuông.
Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi F, H lần lượt là trung điểm của BG, CG.
Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác EFHD là hình vuông.
Câu 7:
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
GH // CD;
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
GH // CD;
Câu 8:
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
DHAF = DADC.
Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF và ADGH (Hình 26).
Chứng minh:
DHAF = DADC.
Câu 9:
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Gọi I là trung điểm của EF. Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IK = IA. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
Gọi I là trung điểm của EF. Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IK = IA. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
Câu 10:
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Chứng minh AE = AM = FM.
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Chứng minh AE = AM = FM.
Câu 11:
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Tính độ dài BF.
Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm. Tia phân giác của góc BAE cắt BC tại F. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = DE.
Tính độ dài BF.
Câu 12:
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
Tứ giác GFHE là hình vuông.
Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:
Tứ giác GFHE là hình vuông.
