Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Đáp án đúng là A

Lời giải

*Phương pháp giải:

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

*Lý thuyết:

Cho mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của I lên a hay d (I; a) = IH. Nếu:

+) IH > R: a không cắt mặt cầu hay mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a không có điểm chung.

+) IH = R: a với mặt cầu S(I; R)có một điểm chung duy nhất là H. Ta nói a là một tiếp tuyến của mặt cầu S(I; R)và H là tiếp điểm.

- Điều kiện cần và đủ để đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) tại điểm H là a vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.

+) IH < R: a cắt mặt cầu S(I; R) tại hai điểm A, B phân biệt.

Nhận xét: Tam giác IAB cân tại I, H là trung điểm của đoạn AB và

$R^2=I{H}^2+A{H}^2=I{H}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$

+) Đặc biệt: IH = 0: a đi qua tâm I của mặt cầu. Khi đó $I\equiv H$

- Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Khi đó:

a. Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

b. Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) hay $d\left(I;\left(P\right)\right)=IH$. Nếu

+) IH > R: Mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) không có điểm chung

+) IH = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S (I; R). Ta nói mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

- Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R)là: (P) vuông góc với bán kính IH tại điểm H.

+) IH < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}$

+) Đặc biệt: IH = 0 thì mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng kính. Giao tuyến của mặt phẳng kính với mặt cầu là đường thẳng có bán kính R, đường tròn đó gọi là đường tròn lớn của mặt cầu.

5. Khái niệm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp.

- Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.

- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

6. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho mặt cầu S(I; R).

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2$

Thể tích khối cầu: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$

Chú ý:

- Diện tích S của mặt cầu bán kính R bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

- Thể tích V của khối cầu bán kính R bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

Xem thêm

50 bài toán về mặt cầu và phương pháp giải bài tập (có đáp án 2024) – Toán 12 

Lý thuyết Mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12