Câu hỏi:
17/06/2026 318
Cho đường thẳng d: y = (m ‒ 2)x + 2 với m ≠ 2.
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .
b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường thẳng d: y = (m ‒ 2)x + 2 với m ≠ 2.
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .
b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Với y = 0 ta có: 0 = (m ‒ 2)x + 2, suy ra (m – 2)x = –2
Do đó \(x = \frac{{ - 2}}{{m - 2}}\), ta được điểm \(A\left( {\frac{{ - 2}}{{m - 2}};0} \right)\) là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox.
Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\)
Với x = 0 thì y = 2, ta được điểm B(0; 2) là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Khi đó OB = 2.
Do A nằm trên Ox và B nằm trên Oy nên tam giác OAB là tam giác vuông tại O.
Do đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|.2 = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\) (đơn vị diện tích)
Mà theo bài, diện tích của tam giác OAB bằng 2 nên \(\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right| = 2\)
Suy ra \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) hoặc \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\).
• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) ta có 2m – 4 = –2 hay 2m = 2, suy ra m = 1 (thỏa mãn);
• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\) ta có –2m + 4 = –2 hay 2m = 6, suy ra m = 3 (thỏa mãn);
Vậy m ∈ {1; 3} thì đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .
b) Từ câu a, ta có đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) với mọi giá trị của m.
Vậy khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) cố định.
Lời giải
a) Với y = 0 ta có: 0 = (m ‒ 2)x + 2, suy ra (m – 2)x = –2
Do đó \(x = \frac{{ - 2}}{{m - 2}}\), ta được điểm \(A\left( {\frac{{ - 2}}{{m - 2}};0} \right)\) là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox.
Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\)
Với x = 0 thì y = 2, ta được điểm B(0; 2) là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy. Khi đó OB = 2.
Do A nằm trên Ox và B nằm trên Oy nên tam giác OAB là tam giác vuông tại O.
Do đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|.2 = \left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right|\) (đơn vị diện tích)
Mà theo bài, diện tích của tam giác OAB bằng 2 nên \(\left| {\frac{{ - 2}}{{m - 2}}} \right| = 2\)
Suy ra \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) hoặc \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\).
• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = 2\) ta có 2m – 4 = –2 hay 2m = 2, suy ra m = 1 (thỏa mãn);
• Với \(\frac{{ - 2}}{{m - 2}} = - 2\) ta có –2m + 4 = –2 hay 2m = 6, suy ra m = 3 (thỏa mãn);
Vậy m ∈ {1; 3} thì đường thẳng d cùng với các trục Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 .
b) Từ câu a, ta có đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) với mọi giá trị của m.
Vậy khi giá trị của m thay đổi thì tập hợp các đường thẳng d luôn đi qua điểm B(0; 2) cố định.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
a) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm P(0; b) và \(Q\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
b) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm M(‒1; ‒a + b) và \(N\left( { - \frac{b}{a};b} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
c) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm I(1; a + b) và K(‒2; ‒2a + b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
a) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm P(0; b) và \(Q\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
b) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm M(‒1; ‒a + b) và \(N\left( { - \frac{b}{a};b} \right)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
c) Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0, b ≠ 0), ta có thể xác định hai điểm I(1; a + b) và K(‒2; ‒2a + b) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Câu 2:
Xác định đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đi qua điểm A(2; 0) và song song với đường thẳng y = 2x ‒ 5. Sau đó vẽ đường thẳng tìm được trên mặt phẳng toạ độ.
Câu 3:
Cho hai đường thẳng d: y = mx ‒ (2m + 2) và d’: y = (3 ‒ 2m) x + 1 với m ≠ 0 và \(m \ne \frac{3}{2}.\)
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).
b) Gọi β là góc tạo bởi đường thẳng d ở câu a và trục Ox. Hỏi β là góc nhọn hay góc tù? Vì sao?
c) Tìm giá trị của m để d và d’ cắt nhau.
Cho hai đường thẳng d: y = mx ‒ (2m + 2) và d’: y = (3 ‒ 2m) x + 1 với m ≠ 0 và \(m \ne \frac{3}{2}.\)
a) Tìm giá trị của m để đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1).
b) Gọi β là góc tạo bởi đường thẳng d ở câu a và trục Ox. Hỏi β là góc nhọn hay góc tù? Vì sao?
c) Tìm giá trị của m để d và d’ cắt nhau.
Câu 4:
Cho các đường thẳng \({d_1}:y = 11x + 1;{d_2}:y = \sqrt 3 x - 7;{d_3}:y = 2x - \sqrt 2 \). Gọi α1, α2, α3 lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng d1, d2, d3 và trục Ox. Sắp xếp các góc α1, α2, α3 theo thứ tự số đo tăng dần.
Câu 5:
Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = - x,y = - x - 1,y = \frac{1}{3}x,y = \frac{1}{3}x + 2\) trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Câu 6:
Một thiết bị tiệt khuẩn y tế bằng năng lượng mặt trời được mua với giá 60 triệu đồng, mỗi năm thiết bị tiệt khuẩn đó đều khấu hao k (triệu đồng) với 0 < k < 60. Gọi y (triệu đồng) là giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau x năm sử dụng.
a) Chứng tỏ rằng y là hàm số bậc nhất của x, tức là y = ax + b (a ≠ 0).
b) Trong Hình 10, tia At là một phần của đường thẳng y = ax + b. Tìm a, b. Từ đó, cho biết sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng bao nhiêu phần trăm so với giá mua ban đầu.
Một thiết bị tiệt khuẩn y tế bằng năng lượng mặt trời được mua với giá 60 triệu đồng, mỗi năm thiết bị tiệt khuẩn đó đều khấu hao k (triệu đồng) với 0 < k < 60. Gọi y (triệu đồng) là giá của thiết bị tiệt khuẩn đó sau x năm sử dụng.
a) Chứng tỏ rằng y là hàm số bậc nhất của x, tức là y = ax + b (a ≠ 0).
b) Trong Hình 10, tia At là một phần của đường thẳng y = ax + b. Tìm a, b. Từ đó, cho biết sau 12 năm sử dụng thì giá của thiết bị tiệt khuẩn đó bằng bao nhiêu phần trăm so với giá mua ban đầu.
