Câu hỏi:
11/07/2026 52
(0,5 điểm) Cho \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}.\) Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
(0,5 điểm) Cho \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}.\) Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)
Suy ra \(\frac{{yz + xz + xy}}{{xyz}} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)
\(\left( {yz + xz + xy} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\)
\(yz\left( {x + y + z} \right) + xz\left( {x + y + z} \right) + xy\left( {x + y + z} \right) = xyz\)
\[xyz + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}z + xyz + x{z^2} + {x^2}y + x{y^2} + xyz = xyz\]
\[\left( {{x^2}z + 2xyz + {y^2}z} \right) + \left( {y{z^2} + x{z^2}} \right) + \left( {{x^2}y + x{y^2}} \right) = 0\]
\[z{\left( {x + y} \right)^2} + {z^2}\left( {x + y} \right) + xy\left( {x + y} \right) = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {z\left( {x + y} \right) + {z^2} + xy} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left( {xz + yz + {z^2} + xy} \right) = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {\left( {xz + xy} \right) + \left( {yz + {z^2}} \right)} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 0\]
Suy ra \(x + y = 0\) hoặc \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0.\)
⦁ Nếu \(x + y = 0\) thì \(x = - y,\) khi đó \[{x^{2023}} = - {y^{2023}}.\]
Ta có \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}};\]
\[\frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}}.\]
Do đó \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
⦁ Nếu \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0,\) chứng minh tương tự ta cũng có
\[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
Vậy nếu \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\) thì \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)
Suy ra \(\frac{{yz + xz + xy}}{{xyz}} = \frac{1}{{x + y + z}}.\)
\(\left( {yz + xz + xy} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\)
\(yz\left( {x + y + z} \right) + xz\left( {x + y + z} \right) + xy\left( {x + y + z} \right) = xyz\)
\[xyz + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}z + xyz + x{z^2} + {x^2}y + x{y^2} + xyz = xyz\]
\[\left( {{x^2}z + 2xyz + {y^2}z} \right) + \left( {y{z^2} + x{z^2}} \right) + \left( {{x^2}y + x{y^2}} \right) = 0\]
\[z{\left( {x + y} \right)^2} + {z^2}\left( {x + y} \right) + xy\left( {x + y} \right) = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {z\left( {x + y} \right) + {z^2} + xy} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left( {xz + yz + {z^2} + xy} \right) = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {\left( {xz + xy} \right) + \left( {yz + {z^2}} \right)} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 0\]
\[\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 0\]
Suy ra \(x + y = 0\) hoặc \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0.\)
⦁ Nếu \(x + y = 0\) thì \(x = - y,\) khi đó \[{x^{2023}} = - {y^{2023}}.\]
Ta có \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}};\]
\[\frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}}.\]
Do đó \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
⦁ Nếu \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0,\) chứng minh tương tự ta cũng có
\[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
Vậy nếu \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\) thì \[\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}.\]
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)
(1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(4{x^2} - 6x.\)
b) \(25{\left( {x - y} \right)^2} - 16{\left( {x + y} \right)^2}.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (8,0 điểm)
(1,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) \(4{x^2} - 6x.\)
b) \(25{\left( {x - y} \right)^2} - 16{\left( {x + y} \right)^2}.\)
Câu 3:
(1,5 điểm) Biểu đồ cột kép ở hình bên dưới biểu diễn trị giá xuất khẩu, nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 của nước ta.
a) Lập bảng thống kê trị giá xuất khẩu, nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 (đơn vị: tỉ USD) theo mẫu sau:
Giai đoạn
Quý I/2020
Quý I/2021
Quý I/2022
Xuất khẩu
?
?
?
Nhập khẩu
?
?
?
b) Tổng trị giá nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 là bao nhiêu tỷ USD?
c) Giá trị xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2021 tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với quý I năm 2020 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
(1,5 điểm) Biểu đồ cột kép ở hình bên dưới biểu diễn trị giá xuất khẩu, nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 của nước ta.
a) Lập bảng thống kê trị giá xuất khẩu, nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 (đơn vị: tỉ USD) theo mẫu sau:
|
Giai đoạn |
Quý I/2020 |
Quý I/2021 |
Quý I/2022 |
|
Xuất khẩu |
? |
? |
? |
|
Nhập khẩu |
? |
? |
? |
b) Tổng trị giá nhập khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I của giai đoạn 2020 – 2022 là bao nhiêu tỷ USD?
c) Giá trị xuất khẩu hàng hóa của nước ta trong quý I năm 2021 tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với quý I năm 2020 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Câu 4:
(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right).\)
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \({x^2} - x - 2 = 0.\)
(1,5 điểm) Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - {x^2}}}} \right):\left( {2 - \frac{{x + 5}}{{3 + x}}} \right).\)
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(A.\)
b) Rút gọn biểu thức \(A.\)
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \({x^2} - x - 2 = 0.\)
Câu 6:
Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều là
Câu 8:
Cho tứ giác \(MNPQ\) có \(PM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {NPQ}.\) Biết \(\widehat {QMN} = 110^\circ ,\) \(\widehat {N\,} = 120^\circ \) và \(\widehat {Q\,} = 60^\circ .\) Số đo của \(\widehat {MPQ}\) là
Câu 10:
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)
Cho các đơn thức \(A = \left( {0,3 + \pi } \right){x^2}y;\) \(B = \frac{1}{2}xy{x^2}z;\) \(C = - xyx{z^2}\) và \(D = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)x{y^2}z.\) Hai đơn thức thu gọn trong các đơn thức đã cho là:
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)
Câu 11:
(3,5 điểm)
1) Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC,\) có cạnh đáy \(AB = 5{\rm{\;cm}}\) và độ dài trung đoạn \(SI = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Tính:
a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC.\)
b) Thể tích của hình chóp \(S.ABC,\) biết chiều cao \(SO\) của hình chóp là \(5,8{\rm{\;cm}}.\)
(Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2. Cho tam giác \[ABC\] có các đường trung tuyến \[BD,{\rm{ }}CE\] cắt nhau tại \[G.\] Gọi \[F,{\rm{ }}H\] lần lượt là trung điểm của \[BG,{\rm{ }}CG.\]
a) Tứ giác \[EFHD\] là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác \[ABC\] để tứ giác \[EFHD\] là hình vuông.
(3,5 điểm)
|
1) Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC,\) có cạnh đáy \(AB = 5{\rm{\;cm}}\) và độ dài trung đoạn \(SI = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Tính: a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC.\) b) Thể tích của hình chóp \(S.ABC,\) biết chiều cao \(SO\) của hình chóp là \(5,8{\rm{\;cm}}.\) |
|
(Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2. Cho tam giác \[ABC\] có các đường trung tuyến \[BD,{\rm{ }}CE\] cắt nhau tại \[G.\] Gọi \[F,{\rm{ }}H\] lần lượt là trung điểm của \[BG,{\rm{ }}CG.\]
a) Tứ giác \[EFHD\] là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của tam giác \[ABC\] để tứ giác \[EFHD\] là hình vuông.
