Phương trình $x^2+3\left|x-3\right|=2x+5$$\iff 3\left|x-3\right|=2x+5-x^2\left(*\right)$

Do $3\left|x-3\right|\ge 0$ nên $2x+5-x^2\ge 0\iff 1-\sqrt{6}\le x\le 1+\sqrt{6}$

TH1: $3\le x\le 1+\sqrt{6}$

Phương trình $\left(*\right)\iff x^2+x-14=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-1+\sqrt{57}}{2}\left(TM\right)\\ x=\frac{-1-\sqrt{57}}{2}\left(L\right)\end{array}\right.$

TH2: $1-\sqrt{6}\le x<3$

Phương trình $\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$(do x=4 loại).

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ 2x^2-x-2m=x^2-4x+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x^2+3x-4=2m\end{array}\right.$

Xét hàm $y=x^2+3x-4$ trên $\left[2;+\infty \right)$ ta có

BBT:

Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là $2m\ge 6\iff m\ge 3$

Mà $m\in [-2017;2017)$ suy ra $3\le m<2017$

Vậy có nhiều nhất 2014 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Gọi x, y > 0 (km/giờ)lần lượt là vận tốc trung bình lúc đi và vận tốc trung bình lúc về.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}y-x=20\\ \frac{175}{x}+\frac{175}{y}=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=20+x\left(1\right)\\ \frac{175}{x}+\frac{175}{y}=6\left(2\right)\end{array}\right.$

Thế (1) vào (2) ta được:

$\frac{175}{x}+\frac{175}{20+x}=6$$\iff 6x^2-230x-3500=0\iff \left[\begin{array}{c}x=50\\ x=-\frac{35}{3}\end{array}\right.\iff x=50$ vì x>0

Vận tốc lúc đi là 50 km/giờ

Đáp án cần chọn là: D

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm $x\in \left[0;4\right]$ thì đường thẳng $y=2m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^2-2x-3$ trên $\left[0;4\right]$ tại một điểm duy nhất.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left[0;4\right]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $\left[0;4\right]$ th

$\left[\begin{array}{c}2m=-4\\ -3<2m\le 5\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{c}m=-2\\ -\frac{3}{2}<m\le \frac{5}{2}\end{array}\right.$

Vậy các giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m\in \left\{-2;-1;0;1;2\right\}$

Đáp án cần chọn là: A

Tập xác định $D=R$

Phương trình tương đương với $\left(x-1\right)\left(x^2-2mx+2m-1\right)=0\left(*\right)$

Ta có, phương trình (∗) có: $∆\text{'}=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0$

Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm nếu phương trình (∗) có nghiệm kép $x=1$

$\Rightarrow ∆\text{'}=0\iff m=1$

Thay $m=1$ vào phương trình (∗), ta được $x^2-2x+1=0\iff x=1$ (thỏa mãn).

Vậy với $m=1$ thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Đáp án cần chọn là: C

Kí hiệu $\left\{\begin{array}{c}x+2my-z=1\left(1\right)\\ 2x-my-2z=2\left(2\right)\\ x-(m+4)y-z=1\left(3\right)\end{array}\right.$

Lấy (1) – (3) vế với vế ta được $\left(3m+4\right)y=0\iff y=0(dom\ne 0;-\frac{4}{3})$

Khi đó $\left\{\begin{array}{c}x-z=1\\ y=0\end{array}\right.$

Ta có $T=2017x-2018y-2017z=2017\left(x-z\right)=2017$

Đáp án cần chọn là: C

Điều kiện $\left\{\begin{array}{c}x\ge -7\\ y\ge -\frac{1}{3}\end{array}\right.\left(*\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2xy+8x=3y^2+12y+9\left(1\right)\\ x^2+4y+18-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{3y+1}=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Có $\left(1\right)\iff x^2+2\left(y+4\right)x-3y^2-12y-9=0,$ ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn x và y là tham số, giải x theo y ta được $\left[\begin{array}{c}x=-3y-9\\ x=y+1\end{array}\right.$

Với $x=-3y-9$ thì (*) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}-3y-9\ge -7\\ y\ge -\frac{1}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y\le -\frac{2}{3}\\ y\ge -\frac{1}{3}\end{array}\right.$(vô lí)

Hệ phương trình có nghiệm là $\left(2;1\right)\Rightarrow a=2,b=1\Rightarrow T=24$

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện xác định: $x\ne 0$.

Đặt $t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow t^2-2=x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2\Rightarrow \left|t\right|\ge 2$$\iff \left[\begin{array}{c}t\ge 2\\ t\le -2\end{array}\right.$

Phương trình đã cho trở thành $2\left(t^2-2\right)-3t-2m+1=0$

$\begin{array}{l}\iff 2t^2-3t-2m-3=0\\ \iff 2t^2-3t-3=2m\left(1\right)\end{array}$

Xét hàm số $y=f\left(t\right)=2t^2-3t-3$ có bảng biến thiên:

(1) Có nghiệm t thỏa mãn $\left[\begin{array}{c}t\ge 2\\ t\le -2\end{array}\right.khi\left[\begin{array}{c}2m\ge -1\\ 2m\ge 11\end{array}\iff m\ge -\frac{1}{2}\right.\Rightarrow S=\left[-\frac{1}{2};+\infty \right)$

Vậy T = 3

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}xy-3x-2y=16\\ x^2+y^2-2x-4y=33\end{array}\right.\left(1\right)$

Đặt $u=x-1,v=y-2$ ta được h

Đặt S = u + v, P = uv ta được hệ $\left\{\begin{array}{c}P-S=21\\ S^2-2P=38\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}P=S+21\\ S^2-2S-80=0\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}S=-8\\ P=13\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{c}S=10\\ P=31\end{array}\right.$

+ Khi $\iff \left\{\begin{array}{c}S=-8\\ P=13\end{array}\right.$thì u, v là nghiệm của phương trình $X^2+8X+13=0$

+ Khi $\left\{\begin{array}{c}S=10\\ P=31\end{array}\right.$ thì u, v là nghiệm của phương trình $X^2-10X+31=0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(-3-\sqrt{3};-2+\sqrt{3}\right)$$\left(x;y\right)=\left(-3+\sqrt{3};-2-\sqrt{3}\right)$

Đáp án cần chọn là: A

$2\sqrt{x+1}=x+m\left(1\right)$

Phương trình tương đương: $\left\{\begin{array}{c}x+m\ge 0\\ 4\left(x+1\right)=x^2+2mx+m^2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}x\ge -m\\ x^2+2\left(m-2\right)x+m^2-4=0\left(2\right)\end{array}\right.$

Phương trình (2) có nghiệm <=> pt (2) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng –m

$\Delta \text{'}=8-4m$

Phương trình (2) có nghiệm $\iff \Delta \text{'}\ge 0\iff m\le 2$

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm $\left\{\begin{array}{c}{x}_1=2-m-\sqrt{8-4m}\\ x_2=2-m+\sqrt{8-4m}\end{array}\right.$

Dễ thấy $x_2=2-m+\sqrt{8-4m}>-m,\forall m\le 2$ nên (2) luôn có ít nhất 1 nghiệm $x\ge -m$ thỏa mãn bài toán

Vậy $m\le 2$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2+2x+3=mx\iff x^2+\left(m-2\right)x-3=0\left(1\right)$

Dễ thấy (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt vì $ac=1.\left(-3\right)=-3<0$

Khi đó (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;m{x}_1\right)$, $B\left(x_2;m{x}_2\right)$, với $x_1, x_2$ là nghiệm phương trình (1). Theo Viét, có: $x_1+x_2=2-m,$$x_1{x}_2=-3x_1{x}_2=-3$

I là trung điểm

$AB\Rightarrow I=\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{m{x}_1+m{x}_2}{2}\right)=\left(\frac{2-m}{2};\frac{-m^2+2m}{2}\right)$

Mà $I\in \left(\Delta \right):y=x-3$$\Rightarrow \frac{-m^2+2m}{2}=\frac{2-m}{2}-3\iff m^2-3m-4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=-1=m_1\\ m=4=m_2\end{array}\right.\Rightarrow m_1+m_2=3$

Đáp án cần chọn là: D

Đặt $x+\frac{1}{t}=t,\left|t\right|\ge 2$ khi đó phương trình trở thành $2t^2-3t-5m-3=0(*)$

Phương trình $2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(x+\frac{1}{x}\right)-5m+1=0$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t thỏa mãn $\left|t\right|\ge 2$

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của parabol (P): $y=2t^2-3t-3$ và đường thẳng $d:y=5m$

Xét parabol $\left(P\right):y=2t^2-3t-3$ ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm $t\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$ khi và chỉ khi $5m\ge -1$ hoặc $5m\ge 11$

Vậy khi $m\in \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$ thì phương trình có nghiệm $\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=5\end{array}\right.\Rightarrow T=5$

Đáp án cần chọn là: B

Điều kiện $y\ne 0$

Hệ phương trình tương đương với $\left\{\begin{array}{c}x+y+\frac{x}{y}=7\left(1\right)\\ x\left(\frac{x}{y}+1\right)=12\left(2\right)\end{array}\right.$

Từ (1) và x, y là số nguyên nên y là ước của x

Từ (2) ta có x là ước của 12

Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên x = 3, y = 1 nên xy = 3

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 2& m\end{array}\right|=m^2+2>0,\forall m\in R$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

$D_x=\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 9& m\end{array}\right|=3m+9;D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 3\\ 2& 9\end{array}\right|=9m-6$

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất là: $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{3m+9}{m^2+2}\\ y=\frac{9m-6}{m^2+2}\end{array}\right.$

Ta có: $A=3x-y=\frac{3\left(3m+9\right)}{m^2+2}-\frac{9m-6}{m^2+2}=\frac{33}{m^2+2}$

Vì m ∈ Z nên để A nguyên thì $m^2+2$ là ước của 33 mà $m^2+2\ge 2$ nên ta có các trường hợp sau:

Mà m nguyên dương nên $m\in \left\{1;3\right\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m để A nguyên.

Đáp án cần chọn là: B