Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

- Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x<1\\ y-1>2\end{array}\right.$  là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có hai bất phương trình x < 1 và y - 1 > 2 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y<0\\ y-x>0\end{array}\right.$không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² + y < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Bất phương trình y – 2x < 0 không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y^2<5\\ 4x+3y>{10}^{10}\end{array}\right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình 2x – y² < 5 là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Câu A: Thay x = 2 và y = 1 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: 2 + 1 = 3 > 4 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (2; 1) không là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Vậy cặp số (x; y) = (2; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó A là sai.

Câu B: Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: 10 + 2 = 12 > 4 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Thay x = 10 và y = 2 vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – 2 = 8 < 10 là mệnh đề đúng nên cặp số (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x – y < 10.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 4 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 10. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó B là đúng.

Câu C: Thay x = ‒3 và y = 4 vào bất phương trình x + y > 4 ta có: ‒3 + 4 = 1 > 4 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (‒3; 4) không là nghiệm của bất phương trình x + y > 4.

Vậy cặp số (x; y) = (‒3; 4) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó C là sai.

Câu D: Thay x = 0 và y = ‒10 vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 0 ‒ (‒10) = 10 < 10 là mệnh đề sai nên cặp số (x; y) = (0; ‒10) không là nghiệm của bất phương trình x ‒ y < 10.

Vậy cặp số (x; y) = (0; ‒10) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta thấy bất phương trình thứ hai của hệ bất phương trình trong các phương án đều là 2x + 5y ≤ 12x + 8 nên ta chỉ cần xét đến bất phương trình thứ nhất của từng hệ.

Với x = 0 và y = -3 thay vào bất phương trình 2x – y ≤ 3 ta có: 2.0 – (‒3) = 3 ≤ 3 là mệnh đề đúng.

Do đó (0; -3) là nghiệm của bất phương trình 2x – y ≤ 3.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0 + 0 = 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 2. 0 + 0 = 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₂ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂) chứa gốc tọa độ O.

- Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₄ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nằm bên trên trục Ox.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Tính giá trị của biểu thức F(x; y) = 3,5x + 2y tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0): F = 3,5.0 + 2.0 = 0;

Tại A(0; 100): F = 3,5.0 + 2.100 = 200;

Tại B(20; 80): F = 3,5.20 + 2.80 = 230;

Tại C(60; 0): F = 3,5.60 + 2.0 = 210;

So sánh các giá trị thu được kết luận giá trị lớn nhất của F(x; y) là 230 khi (x; y) = (20; 80).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+5y<1\\ 5x-4y>6\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: $\left\{\begin{array}{l}x<1\\ 5x>6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x<1\\ x>\frac{6}{5}\end{array}\right.$(vô lí)

Vậy không có giá trị nguyên nào của x thoả mãn để y = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Xét cặp số (-1; -1): Thay x = -1 và y = -1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (-1; -1) không là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0. Do đó cặp số (-1; -1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó A là sai.

+) Xét cặp số (-1; 0): Ta thấy x = -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (-1; 0) không là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0. Do đó cặp số (-1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó B là sai.

+) Xét cặp số (1; 1):

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 80 ta được 1 + 1 = 2 ≤ 80 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 80.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 120 ta được 2. 1 + 1 = 3 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 80\\ 2x+y\le 120\end{array}\right.$ .

Tương tự (x; y) = (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 80\\ 2x+y\le 120\end{array}\right.$ .

Xét cặp số: (0; -1): ta thấy y = -1 ≥ 0 là mệnh đề sai nên cặp số (0; -1) không là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0. Do đó cặp số (-1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số giờ bác An làm xong x cây nến loại A là: 0,5x (giờ).

Số giờ bác An làm xong y cây nến loại B là: y (giờ).

Tổng số giờ để bác An làm x nến loại A và y nến loại B là: 0,5x + y (giờ).

Do bác An cần phải làm nến trong vòng không quá 8 giờ nên 0,5x + y ≤ 8.

Số nến bạn An làm luôn không âm nên x ≥ 0, y ≥ 0.

Ta có hệ bất phương trình sau:  $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 0,5x+y\le 8\end{array}\right.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả trục Oy) nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả trục Ox) nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8:

+ Vẽ đường thẳng ∆: 0,5x + y = 8.

+ Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0,5. 0 + 0 = 0 ≤ 8 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 0,5x + y ≤ 8.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình 0,5x + y ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể cả bờ ∆) chứa gốc tọa độ O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}m{x}^2+2(m+1)x+y<1\\ m{y}^2+3x-4y-1>0\end{array}\right.$  trở thành hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì hệ số của x², y² đều phải bằng 0

⇔ m = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Câu A: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 2 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó A là sai.

Câu B: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 0 là mệnh đề đúng, vậy điểm M(1; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó B là đúng.

Câu C: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 2 là mệnh đề sai và 1 + 0 = 1 > 3 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó C là sai.

Câu D: Thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

2.1 + 0 = 2 > 1 là mệnh đề đúng và 1 + 0 = 1 > 4 là mệnh đề sai, vậy điểm M(1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Thay x = 0, y = 0 vào từng bất phương trình của hệ ta có:

2.0 + 0 = 0 > 1 là mệnh đề sai và 0 + 0 = 0 > 3 là mệnh đề sai, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó A là đúng.

+) Thay x = 2, y = 3 vào từng bất phương trình của hệ ta có:

2.2 + 3 = 7 > 1 là mệnh đề đúng và 2 + 3 = 5 > 3 là mệnh đề đúng, vậy điểm M(2; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó B là sai.

+) Thay x = 3, y = 4 vào từng bất phương trình của hệ ta có:

2.3 + 4 = 10 > 1 là mệnh đề đúng và 3 + 4 = 7 > 3 là mệnh đề đúng, vậy điểm N(3; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó C là sai.

+) Thay x = 4, y = 5 vào từng bất phương trình của hệ ta có:

2.4 + 5 = 13 > 1 là mệnh đề đúng và 4 + 5 = 9 > 3 là mệnh đề đúng, vậy điểm P(4; 5) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Do đó D là sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày. (x ≥ 0)

Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày. (y ≥ 0)

Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.

Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B nên:

400 ≤ x + y ≤ 1000.

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn  số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên:

 $\left\{\begin{array}{l}y\ge \frac{1}{2}x\\ y\le 3x\end{array}\right.$ .

Ta có hệ bất phương trình giữa x và y:

$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x\le 600\\ y\le 500\\ x+y\ge 400\\ x+y\le 1000\\ y\ge \frac{1}{2}x\\ y\le 3x\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

- Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600.

Vậy miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa điểm O.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1.

Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit; mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit mà gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên:

 $\left\{\begin{array}{l}800x+600y\ge 900\\ 200x+400y\ge 400\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.$

Ta có hệ bất phương trình:  $\left\{\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\le 1,6\\ y\ge 0\\ y\le 1,1\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:

- Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục Oy.

Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.

* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

- Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0: là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nẳm bên trên trục Ox.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khi y = 1, hệ bất phương trình trở thành:

 $\left\{\begin{array}{l}x+1\ge 1\\ 2x-3.1<5\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2x<8\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x<4\end{array}\right.$⇔ 0 ≤ x < 4.

Vậy x ∈ [0; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Câu A: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có ít nhất 2 bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là khẳng định đúng.

Câu B: Thay x = 0, y = 1 vào từng bất phương trình trong hệ ta có:

0 + 1 = 1 ≥ 1 là mệnh đề đúng và 2.0 – 3. 1 = -3 < 5 là mệnh đề đúng, vậy hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 1\\ 2x-3y<5\end{array}\right.$có nghiệm là (x; y) = (0; 1) là khẳng định đúng.

Câu C: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có miền nghiệm là một đa giác là khẳng định sai bởi hệ bất phương trình có thể vô nghiệm.

Ví dụ: hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y<0\\ x+y>0\\ x-y<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x>0\\ y<0\\ x+y>0\\ x-y<0\end{array}\right.$ luôn vô nghiệm bởi khi x > 0 và y < 0 thì x – y > 0, điều này không đúng với bất phương trình x – y < 0 của hệ bất phương trình. Do đó hệ này vô nghiệm.

Câu D: Hệ bất phương trình có thể vô nghiệm là khẳng định đúng.

Ví dụ: như ví dụ câu C.