Lời giải sẽ được thực hiện trong Thực hành 1 trang 137 SGK Toán 11.

Chiều cao	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)	[185; 190)	[190; 195)
Đội Sao La	2	4	5	5	4
Đội Kim Ngưu	2	3	4	10	1

 

b) +) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:  $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x₁; x₂ ∈ [170; 175); x₃; x₄; x₅; x₆ ∈ [175; 180); x₇; x₈; x₉; x₁₀; x₁₁ ∈ [180; 185).

Do đó  $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y₁; y₂; y₃; ...; y₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:  $\frac{1}{2}$(y₁₀ + y₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y₁; y₂ ∈ [170; 175); y₃; y₄; y₅ ∈ [175; 180); y₆; y₇; x₈; x₉ ∈ [180; 185); x₁₀; x₁₁; ...; x₁₉ ∈ [185; 190); x₂₀ ∈ [190; 195).

Do đó $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Lời giải

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Chiều cao	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)	[185; 190)	[190; 195)
Giá trị đại diện	172,5	177,5	182,5	187,5	192,5
Số vận động viên đội Sao La	2	4	5	5	4
Số vận động viên đội Kim Ngưu	2	3	4	10	1

+) Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Sao La là:

 $\overline{x_1}=\frac{172,5.2+177,5.4+182,5.5+187,5.5+192,5.4}{20}\approx 183,75$(cm).

Ước lượng chiều cao trung bình của các vận động viên đội Kim Ngưu là:

 $\overline{x_2}=\frac{172,5.2+177,5.3+182,5.4+187,5.10+192,5.1}{20}\approx 183,75$(cm).

Theo chiều cao trung bình thì cả hai đội có chiều cao như nhau.

+) Sau bài này ta sẽ tìm được cách tìm trung vị của mẫu số liệu trên như sau

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Sao La là:

Gọi x₁; x₂; x₃; ...; x₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Sao La xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:  $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy x₁; x₂ ∈ [170; 175); x₃; x₄; x₅; x₆ ∈ [175; 180); x₇; x₈; x₉; x₁₀; x₁₁ ∈ [180; 185).

Do đó  $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [180; 185).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Sao La là:  $M_e=180+\frac{\frac{20}{2}-(2+4)}{5}(185-180)=184$.

- Trung vị của dãy số liệu chiều cao đội Kim Ngưu là:

Gọi y₁; y₂; y₃; ...; y₂₀ là chiều cao của 20 thành viên đội Kim Ngưu xếp theo thứ tự không giảm.

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:  $\frac{1}{2}$(y₁₀ + y₁₁)

Từ bảng số liệu trên ta thấy y₁; y₂ ∈ [170; 175); y₃; y₄; y₅ ∈ [175; 180); y₆; y₇; x₈; x₉ ∈ [180; 185); x₁₀; x₁₁; ...; x₁₉ ∈ [185; 190); x₂₀ ∈ [190; 195).

Do đó  $\frac{1}{2}$(x₁₀ + x₁₁) sẽ thuộc nhóm [190; 195).

Khi đó số trung vị của số liệu đội Kim Ngưu là:  $M_e=190+\frac{\frac{20}{2}-(2+3+4)}{10}(195-190)=190,5$.

Dựa vào số trung vị ta thấy chiều cao của đội Kim Ngưu nhỉnh hơn chiều cao của đội Sao La.

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124.

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₂₄ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₅ ∈ [21; 21,5), x₆; ...; x₁₇ ∈ [21,5; 22), x₁₈; ...; x₄₉ ∈ [22; 22,5), x₅₀; ...; x₉₄ ∈ [22,5; 23), x₉₅; ...; x₁₂₄ ∈ [23; 23,5).

 Số trung vị của dãy số liệu là:  $\frac{1}{2}$(x₆₂ + x₆₃)

Mà x₆₂; x₆₃ ∈ [22,5; 23) do đó: M_e =  $22,5+\frac{\frac{124}{2}-49}{45}\left(23-22,5\right)\approx 22,6$.

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.

Số vận động viên được khảo sát là: n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₉ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; x₂; x₃ ∈ [0; 2), x₄; ...; x₁₁ ∈ [2; 4), x₁₂; ...; x₂₃ ∈ [4; 6), x₂₄; ...; x₃₅ ∈ [6; 8), x₃₆; ...; x₃₉ ∈ [8; 10).

Do đó đối với dãy số liệu x₁; x₂; ...; x₃₉ thì:

- Tứ phân vị thứ nhất là x₁₀ thuộc nhóm [2; 4);

- Tứ phân vị thứ hai là x₂₀ thuộc nhóm [4; 6);

- Tứ phân vị thứ ba là x₃₀ thuộc nhóm [6; 8).

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ x₃₀ (giờ) trở lên.

Tổng số cuộc gọi điện thoại là: 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33 (cuộc gọi).

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₃ là số thời gian thực hiện cuộc gọi điện thoại sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₈ ∈ [0; 60), x₉; ...; x₁₈ ∈ [60; 120), x₁₉; ...; x₂₅ ∈ [120; 180), x₂₆; ...; x₃₀ ∈ [180; 240), x₃₁; x₃₂ ∈ [240; 300), x₃₃ ∈ [300; 360).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₁₇. Vì x₁₇ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: Q₂ =  $60+\frac{\frac{33}{2}-8}{10}.\left(120-60\right)=111$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₈ và x₉ . Vì x₈ ∈ [0; 60) và x₉ ∈ [60; 120) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: Q₁ = 60.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂; x₃; ...; x₃₃ là x₂₅ và x₂₆. Vì x₂₅ ∈ [120; 180) và x₂₆ ∈ [180; 200) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: Q₃ = 180.

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu là: Q₁ = 60; Q₂ = 111; Q₃ = 180.

Hiệu chỉnh bảng số liệu ta được:

Số bệnh nhân	[0,5; 10,5)	[10,5; 20,5)	[20,5; 30,5)	[30,5; 40,5)	[40,5; 50,5)
Số ngày	7	8	7	6	2

Tổng số số ngày có bệnh nhân đến khám là: 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30.

Gọi x₁; x₂; ...; x₃₀ lần lượt là số bệnh nhân đến khám bệnh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₇ ∈ [0,5; 10,5), x₈; ...; x₁₅ ∈ [10,5; 20,5), x₁₆; ...; x₂₂ ∈ [20,5; 30,5), x₂₃; ...; x₂₈ ∈ [30,5; 40,5), x₂₉; x₃₀ ∈ [40,5; 50,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là x₈ ∈ [10,5; 20,5) nên

Q₁ =  $10,5+\frac{\frac{30}{4}-7}{8}.\left(20,5-10,5\right)\approx 11,1$.

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₅ và x₁₆. Vì x₁₅ ∈ [10,5; 20,5) và x₁₆ ∈ [20,5; 25,5) nên ta có: Q₂ = 20,5.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là x₂₄ ∈ [30,5; 40,5) nên

Q₃ =  $30,5+\frac{\frac{3.30}{4}-22}{6}.\left(40,5-30,5\right)\approx 31,3$.

Sắp xếp mẫu số liệu không giảm ta được:

6,5; 6,7; 6,7; 8,3; 8,4; 8,9; 9,2; 9,6; 9,8; 10,0; 10,0; 10,7; 10,9; 11,1; 11,2; 11,7; 11,9; 12,2; 12,5; 12,7; 13,1; 13,2; 13,6; 13,8.

Cỡ mẫu là n = 24 nên ta có:

Tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của giá trị thứ 12 và 13 ta được:  $Q_2=\frac{10,7+10,9}{2}=10,8$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 6 và thứ 7 ta được:

 $Q_1=\frac{8,9+9,2}{2}=9,05$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 18 và 19 ta được:

 $Q_3=\frac{12,2+12,5}{2}\approx 12,35$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm:

Lương tháng (triệu đồng)	[6; 8)	[8; 10)	[10; 12)	[12; 14)
Số nhân viên	3	6	8	7

c) Gọi x₁; x₂; ...; x₂₄ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₃ ∈ [6; 8), x₄; ...; x₉ ∈ [8; 10), x₁₀; ...; x₁₇ ∈ [10; 12), x₁₈; ...; x₂₄ ∈ [12; 14).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₂ và x₁₃. Vì x₁₂; x₁₃∈ [10; 12) nên Q₂ =  $10+\frac{\frac{24}{2}-9}{8}\left(12-10\right)=10,75$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₆ và x₇. Vì x₆; x₇ ∈ [8; 10) nên  $$$Q_1=8+\frac{\frac{24}{4}-3}{6}\left(10-8\right)=9$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₈ và x₁₉. Vì x₁₈; x₁₉ ∈ [12; 14) nên  $Q_3=12+\frac{\frac{3.24}{4}-17}{7}\left(14-12\right)\approx 12,3$.

a) Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

6; 8; 8; 10; 11; 11; 12; 13; 14; 14; 14; 15; 18; 18; 21; 22; 23; 24; 25; 25.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 ta được:  $Q_2=\frac{14+14}{2}=14$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6 ta được:

 $Q_1=\frac{11+11}{2}=11$.

Tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị 15 và 16 ta được:

 $Q_3=\frac{21+22}{2}=21,5$.

b) Ta có bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

Điểm số	[6; 10]	[11; 15]	[16; 20]	[21; 25]
Số trận	4	8	2	6

c) Ta có bảng hiểu chỉnh bảng trên như sau:

Điểm số	[5,5; 10,5)	[10,5; 15,5)	[15,5; 20,5)	[20,5; 25,5)
Số trận	4	8	2	6

Gọi x₁; x₂; ...; x₂₀ là lương tháng của nhân viên một văn phòng theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₄ ∈ [5,5; 10,5), x₅; ...; x₁₂ ∈ [10,5; 15,5), x₁₃; x₁₄ ∈ [15,5; 20,5), x₁₅; ...; x₂₀ ∈ [20,5; 25,5).

Khi đó:

- Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₀ và x₁₁. Vì x₁₀; x₁₁ ∈ [10,5; 15,5) nên Q₂ =  $10,5+\frac{\frac{20}{2}-4}{8}\left(15,5-10,5\right)=14,25$.

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₅ và x₆. Vì x₅; x₆ ∈ [10,5; 15,5)  nên  $Q_1=10,5+\frac{\frac{20}{4}-4}{8}\left(15,5-10,5\right)=11,125$.

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là trung bình cộng của x₁₅ và x₁₆. Vì x₁₅; x₁₆ ∈ [20,5; 25,5) nên  $Q_3=20,5+\frac{\frac{3.20}{4}-14}{6}\left(25,5-20,5\right)\approx 21,3$.

Ta có bảng giá trị đại diện:

Điện lượng (nghìn mAh)	[0,9; 0,95)	[0,95; 1,0)	[1,0; 1,05)	[1,05; 1,1)	[1,1; 1,15)
Giá trị đại diện	0,925	0,975	1,025	1,075	1,125
Số viên pin	10	20	35	15	5

 

+) Ước lượng số trung bình của mẫu số liệu là:

 $\overline{x}=\frac{0,925.10+0,975.20+1,025.35+1,075.15+1,125.5}{85}\approx 1,016$.

+) Mốt của dãy số liệu thuộc vào [1,0; 1,05) nên ta có:  $M_0=1,0+\frac{35-20}{35-20+35-15}.\left(1,05-1,0\right)\approx 1,02$.

+) Gọi x₁; x₂; ...; x₈₅ là điện lượng của một số viên pin tiểu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₁₀ ∈ [0,9; 0,95), x₁₁; ...; x₃₀ ∈ [0,95; 1,0), x₃₁; ...; x₆₅ ∈ [1,0; 1,05), x₆₆; ...; x_80­ ∈ [1,05; 1,1), x₈₁; ...; x₈₅ ∈ [1,1; 1,15).

 Khi đó, ta có:

- Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là x₄₃ ∈ [1,0; 1,05) nên  $Q_2=1,0+\frac{\frac{85}{2}-30}{35}.\left(1,05-1,0\right)\approx 1,02$.

- Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là  $\frac{1}{2}$(x₂₁ + x₂₂) ∈ [0,95; 1,0) nên

$Q_1=0,95+\frac{\frac{85}{4}-10}{20}.\left(1,0-0,95\right)\approx 0,98$.

- Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là  $\frac{1}{2}$(x₆₃ + x₆₄) ∈ [1,0; 1,05) nên

 $Q_3=1,0+\frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}.\left(1,05-1,0\right)\approx 1,05$.

a) Ta có bảng tần số ghép lớp như sau:

Cân nặng (kg)	[1,0; 1,1)	[1,1; 1,2)	[1,2; 1,3)	[1,3; 1,4)
Giá trị đại diện	1,05	1,15	1,25	1,35
Số con lợn giống A	8	28	32	17
Số con lợn giống B	13	14	24	14

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống A là:

 $\overline{x_1}=\frac{1,05.8+1,15.28+1,25.32+1,35.17}{8+28+32+17}\approx 1,22$ (kg).

+) Ước lượng cân nặng trung bình của lợn con giống B là:

 $\overline{x_2}=\frac{1,05.13+1,15.14+1,25.24+1,35.14}{13+14+24+14}\approx 1,21$ (kg).

Suy ra cân nặng trung bình của hai giống lợn con đều gần như nhau.

+) Tổng số lợn con giống A là 85 con.

Gọi x₁; ...; x₈₅ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống A theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₈ ∈ [1,0; 1,1), x₉; ...; x₃₆ ∈ [1,1; 1,2), x₃₇; ...; x₆₈ ∈ [1,2; 1,3), x₆₉; ...; x₈₅ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị x₄₃ ∈ [1,2; 1,3) nên

 $Q_2=1,2+\frac{\frac{85}{2}-36}{32}.\left(1,3-1,2\right)\approx 1,22$ (kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là  $\frac{1}{2}$(x₂₁ + x₂₂) và x₂₁, x₂₂ ∈ [1,1; 1,2) nên

 $Q_1=1,1+\frac{\frac{85}{4}-8}{28}.\left(1,2-1,1\right)\approx 1,15$ (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là  $\frac{1}{2}$(x₆₃ + x₆₄) và x₆₃; x₆₄ ∈ [1,2; 1,3) nên

 $Q_3=1,2+\frac{\frac{3.85}{4}-36}{32}.\left(1,3-1,2\right)\approx 1,29$ (kg).

+) Tổng số lợn con giống B là 65 con.

Gọi y₁; ...; y₆₅ là cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc giống B theo thứ tự không giảm.

Ta có: y₁; ...; y₁₃ ∈ [1,0; 1,1), y₁₄; ...; y₂₇ ∈ [1,1; 1,2), y₂₈; ...; y₅₁ ∈ [1,2; 1,3), y₅₂; ...; y₆₅ ∈ [1,3; 1,4).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là giá trị y₃₃ ∈ [1,2; 1,3) nên

$Q_2=1,2+\frac{\frac{65}{2}-27}{24}.\left(1,3-1,2\right)\approx 1,22$(kg).

- Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là  $\frac{1}{2}$(y₁₆ + y₁₇) và y₁₆, y₁₇ ∈ [1,1; 1,2) nên

$Q_1=1,1+\frac{\frac{65}{4}-13}{14}.\left(1,2-1,1\right)\approx 1,12$  (kg).

- Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là  $\frac{1}{2}$(y₄₉ + x₅₀) và y₄₉; y₅₀ ∈ [1,2; 1,3) nên

 $Q_3=1,2+\frac{\frac{3.65}{4}-27}{24}.\left(1,3-1,2\right)\approx 1,29$ (kg).