Sau khi học xong bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau. 

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Kẻ một đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c.

Khi thay đổi vị trí của điểm M, góc giữa a′ và b′ không thay đổi.

a) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của BA

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC

Mà DD′ // AA′ nên (MN, DD′) = (AC, AA′) = $\widehat{A^{\text{'}}AC}=90°$

b) Ta có: MN // AC

$\Rightarrow$ (MN, CD′) = (AC, CD′) = $\widehat{AC{D}^{\text{'}}}$

Vì ABCD, ADD′A′, CDD′C′ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau nên AC = AD′ = CD′.

Suy ra ACD′ là tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat{AC{D}^{\text{'}}}={60}^o$ hay (MN, CD′) = 60°

c)  Xét tam giác AA′D′ có:

E là trung điểm của AA′

F là trung điểm của A′D′

Nên EF là đường trung bình của tam giác AA′D′.

$\Rightarrow$ EF // AD′

Mà CC′ // AA′

$\Rightarrow$(EF, CC′) = (AD′, AA′) = $\widehat{A^{\text{'}}A{D}^{\text{'}}}=45°$

Vì a // OM nên (a, b) = (MN, OM) = $\widehat{OMN}$.

Mà tam giác OMN vuông cân tại O. Vậy góc giữa a và b là 45°.

a) ABB′A′ là hình vuông nên AB ⊥ BB′ hay góc giữa AB và BB′ là 90°.

b) Vì DD′ // AA′ nên (AB, DD′) = (AB, AA′) = $\widehat{A^{\text{'}}AB}=90°$.

a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B′D′, AA′, CC′, BB′, DD′.

b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC là B′D′.

Các đường thẳng vuông góc với a là: chân tường, mép các viên gạch ốp tường, mép các viên gạch sàn nhà song song với chân tường, …

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN // AB; MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{a}{2}$                                     (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

$\Rightarrow$ MP // CD; MP = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{a}{2}$                                        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$MN = MP = $\frac{a}{2}$

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

 Xét tam giác BCP có: BP = CP = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC $\Rightarrow$ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = $\sqrt{C{P}^2-C{N}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác MNP:

MP² + MN² = ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$ ; PN² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2a^2}{4}$

$\Rightarrow$ MP² + MN² = PN²

 Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = $\widehat{NMP}=90°$.

Vậy AB ⊥ CD.