Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán này như sau:

Ta sẽ xét trong trường hợp Nguyệt và Nhi bắn độc lập với nhau.

Gọi biến cố A: “Nguyệt bắn trúng tâm bia”.

Biến cố B: “Nhi bắn trúng tâm bia”.

Biến cố AB: “Cả hai bạn bắn trúng tâm bia”.

Theo đề có: P(A) = 0,9 và P(B) = 0,8.

Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) = 0,9×0,8 = 0,72.

Vậy xác suất để cả hai bạn bắn trúng tâm bia là 0,72.

a) A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.

B = {(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)}.

b) Các kết quả của phép thử làm cho cả hai biến cố A và B cùng xảy ra là (2; 3) và (3; 2).

a) Ta có D = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)}.

Theo hoạt động khám phá 1 và Ví dụ 1, ta có:

A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.

B = {(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)}.

C = {(1; 6); (6; 1); (1; 5); (5; 1); (1; 4); (4; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 2); (2; 1); (1; 1)}.

Khi đó:

AD = {(3; 2)}; BD = {(3; 2)}; CD = {(3; 1)}.

b) $\overline{A}B$  = {(1; 6); (6; 1)}.

$\overline{A}B$ = {(1; 6); (6; 1); (1; 5); (5; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 2); (2; 1); (1; 1)}.

Ta có A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.

B = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.

AB = ∅.

Do đó A và B không đồng thời xảy ra.

Biến cố D: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.

a) Hai biến cố đối nhau thì xung khắc.

b) Hai biến cố xung khắc thì chưa chắc là hai biến cố đối nhau.

Ví dụ: Một hộp có 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xét hai biến cố:

Biến cố A “Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh” và biến cố B “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ” là hai biến cố xung khắc nhưng không đối nhau.

a) Ta có W = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n(W) = 6.

B = {6}, n(B) = 1. Do đó $P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{6}$ .

b) Kí hiệu (i; j) là kết quả An gieo được mặt i chấm, Bình gieo được mặt j chấm,

 với 1 ≤ i; j ≤ 6.

+) Nếu biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là 1 trong 6 kết quả (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6). Trong đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó $P\left(B\right)=\frac{1}{6}$ .

+) Nếu biến cố A không xảy ra thì kết quả của phép thử là{(i; j): 1 ≤ i ≤ 5; 1 ≤ j ≤ 6}. Có 30 kết quả.

Trong đó có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6).

Do đó .

Biến cố A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”.

Biến cố B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa”.

Ta có W = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 6} suy ra n(W) = 36.

AB = {(6; 6)}, suy ra n(AB) = 1. Do đó $P\left(AB\right)=\frac{1}{36}$ .

Mà $P\left(A\right)=\frac{1}{6}$ ;$P\left(B\right)=\frac{1}{6}$  nên $P\left(A\right)P\left(B\right)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ .

Do đó P(AB) = P(A)P(B).

Gọi biến cố A: “Nguyệt bắn trúng tâm bia”.

Biến cố B: “Nhi bắn trúng tâm bia”.

Biến cố AB: “Cả hai bạn bắn trúng tâm bia”.

Theo đề có: P(A) = 0,9 và P(B) = 0,8.

Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) = 0,9×0,8 = 0,72.

Vậy xác suất để cả hai bạn bắn trúng tâm bia là 0,72.

a) Ta có W = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 3; 1 ≤ j ≤ 5} suy ra n(W) = 15.

AB: “Tổng các số ghi trên hai thẻ bằng 6 và tích của chúng là số lẻ”.

Khi đó AB = {(1; 5); (3; 3)}, suy ra n(AB) = 2.

$P\left(AB\right)=\frac{n\left(AB\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{15}$.

b) Biến cố C: “Hai thẻ lấy được đều bằng 2”.

Khi đó biến cố C xung khắc với cả hai biến cố A và B.

a) Biến cố AB: “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho cả 2 và 3”.

b) A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, suy ra n(A) = 10.

Do đó $P\left(A\right)=\frac{10}{21}$.

B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}, suy ra n(B) = 7. Do đó $P\left(B\right)=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$.

AB = {6; 12; 18}, suy ra n(AB) = 3. Do đó $P\left(AB\right)=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$.

Vì P(A)P(B) = $\frac{10}{21}\cdot \frac{1}{3}=\frac{10}{63}\ne \frac{1}{7}$= P(AB) nên A và B không độc lập.