19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 2. Phép tính lôgarit

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 2. Phép tính lôgarit

Đề số 1

Giải SGK Toán 11 Cánh diều Bài 2. Phép tính lôgarit

52 lượt thi
19 câu hỏi
0 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺] với [H⁺] là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là 10^–4, nước dừa là 10^–5 (nồng độ tính bằng mol L^–1).

Làm thế nào để tính được độ pH của cốc nước cam, nước dừa đó?

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

Câu 2:

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: $3^{x} = 9; 3^{x} = \frac{1}{9} .$

b) Có bao nhiêu số thực x sao cho 3^x = 5?

a) Ta có:

⦁ 3^x = 9 ⇔ 3^x = 3² ⇔ x = 2;

⦁ $3^{x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^{x} = 3^{- 2} \Leftrightarrow x = - 2.$

b) Có đúng một số thực x sao cho 3^x = 5.

Câu 3:

Tính:

a) log₃81;

b) $\log_{10} \frac{1}{100} .$

a) log₃81 = 4 vì 3⁴ = 81;

b) $\log_{10} \frac{1}{100} = - 2$ vì $10^{- 2} = \frac{1}{100} .$

Câu 4:

Cho a > 0, a ≠ 1. Tính:

a) log_a1;

b) log_aa;

c) log_aa^c;

d) với b > 0.

Với a > 0, a ≠ 1 ta có:

a) log_a1 = 0 vì a⁰ = 1;

b) log_aa = 1 vì a¹ = a;

c) log_aa^c = c vì a^c = a^c;

d) Với b > 0, đặt log_ab = c, suy ra a^c = b

Ta có $a^{\log_{a} b} = a^{c} = b$

Vậy $a^{\log_{a} b} = b$ (với b > 0).

Câu 5:

Tính:

a) $\log_{4} \sqrt[5]{16};$

b) $36^{\log_{6} 8} .$

Ta có:

a) $\log_{4} \sqrt[5]{16} = \log_{4} 16^{\frac{1}{5}} = \log_{4} 4^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5};$

b) $36^{\log_{6} 8} = {(6^{2})}^{\log_{6} 8} = {(6^{\log_{6} 8})}^{2} = 8^{2} = 64.$

Câu 6:

Giải bài toán được nêu ở phần mở đầu.

Độ pH của cốc nước cam là: pH = –log[H⁺] = –log10^–4 = –(–4) = 4;

Độ pH của cốc nước dừa là: pH = –log[H⁺] = –log10^–5 = –(–5) = 5.

Câu 7:

Cho m = 2⁷, n = 2³.

a) Tính log₂(mn); log₂m + log₂n và so sánh các kết quả đó.

b) Tính $\log_{2} (\frac{m}{n});$ log₂m – log₂n và so sánh các kết quả đó.

a) Ta có:

⦁ log₂(mn) = log₂(2⁷ . 2³) = log₂2¹⁰ = 10;

⦁ log₂m + log₂n = log₂ 2⁷ + log₂ 2³ = 7 + 3 = 10.

Suy ra log₂(mn) = log₂m + log₂n.

b) Ta có:

⦁ $\log_{2} (\frac{m}{n}) = \log_{2} (\frac{2^{7}}{2^{3}}) = \log_{2} 2^{4} = 4;$

⦁ log₂m – log₂n = log₂ 2⁷ – log₂ 2³ = 7 – 3 = 4.

Suy ra $\log_{2} (\frac{m}{n}) = \log_{2} m - \log_{2} n .$

Câu 8:

Tính:

a) $\ln (\sqrt{5} + 2) + \ln (\sqrt{5} - 2);$

b) log400 – log4;

c) $\log_{4} 8 + \log_{4} 12 + \log_{4} \frac{32}{3} .$

a) $\ln (\sqrt{5} + 2) + \ln (\sqrt{5} - 2) = \ln [(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2)] = \ln (5 - 4) = \ln 1 = 0;$

b) $\log 400 - \log 4 = \log \frac{400}{4} = \log 100 = \log 10^{2} = 2;$

c) $\log_{4} 8 + \log_{4} 12 + \log_{4} \frac{32}{3} = \log_{4} (8 \cdot 12 \cdot \frac{32}{3}) = \log_{4} (32 \cdot 32) = \log_{4} 4^{5} = 5.$

Câu 9:

Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0, α là một số thực.

a) Tính $a^{\log_{a} b^{α}}$ và $a^{α \log_{a} b}$

b) So sánh $\log_{a} b^{α}$ và $α \log_{a} b$

a) Với a > 0, a ≠ 1, b > 0, ta có:

⦁ Đặt $a^{\log_{a} b^{α}} = c$ suy ra $\log_{a} a^{\log_{a} b^{α}} = \log_{a} c$ hay $\log_{a} c = \log_{a} b^{α},$ do đó $c = b^{α}$

Vậy $a^{\log_{a} b^{α}} = b^{α} .$

⦁ Đặt $a^{α \log_{a} b} = c$ suy ra $\log_{a} a^{α \log_{a} b} = \log_{a} c$ hay $\log_{a} c = α \log_{a} b$

Do đó $\log_{a} c = \log_{a} b^{α}$ nên $c = b^{α}$

Vậy $a^{α \log_{a} b} = b^{α} .$

b) Vì $a^{\log_{a} b^{α}} = b^{α}; a^{α \log_{a} b} = b^{α}$

Nên $a^{\log_{a} b^{α}} = a^{α \log_{a} b}$

Suy ra $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b .$

Câu 10:

2 \log_{3} 5 - \log_{3} 50 + \frac{1}{2} \log_{3} 36

Ta có:

$2 \log_{3} 5 - \log_{3} 50 + \frac{1}{2} \log_{3} 36 = \log_{3} 5^{2} - \log_{3} 50 + \log_{3} 36^{\frac{1}{2}} = \log_{3} 25 - \log_{3} 50 + \log_{3} 6 = \log_{3} (\frac{25}{50} \cdot 6) = \log_{3} 3 = 1.$

Câu 11:

Cho ba số thực dương a, b, c với a ≠ 1, b ≠ 1.

a) Bằng cách sử dụng tính chất chứng tỏ rằng log_ac = log_bc . log_ab;

b) So sánh log_bc và $\frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} .$

a) Với a, b, c > 0 và a ≠ 1, b ≠ 1, ta có:

$c = b^{\log_{b} c} \Leftrightarrow \log_{a} c = \log_{a} b^{\log_{b} c} \Leftrightarrow \log_{a} c = \log_{b} c \cdot \log_{a} b$

Vậy log_ac = log_bc . log_ab.

b) Từ log_ac = log_bc . log_ab suy ra $\log_{b} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} .$

Câu 12:

Tính: $5^{\log_{125} 64} .$

Ta có: $5^{\log_{125} 64} = 5^{\log_{5^{3}} 64} = 5^{\frac{1}{3} \log_{5} 64} = 5^{\log_{5} \sqrt[3]{64}} = 5^{\log_{5} 4} = 4.$

Câu 13:

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: log₇19; log₁₁26.

Ta sử dụng máy tính cầm tay để tính logarit như sau (lấy kết quả với 4 chữ số ở phần thập phân):

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: log719; log1126. (ảnh 1)

Chú ý: Với máy tính không có phím thì để tính log₇19, ta có thể dùng công thức đổi cơ số để đưa về cơ số 10 hoặc cơ số ℯ như sau:

$l o g_{7} 19 = \frac{l o g 19}{l o g 7}$ hoặc $l o g_{7} 19 = \frac{\ln 19}{\ln 7},$ sau đó dùng máy tính để tính như dưới đây:

Sử dụng máy tính cầm tay để tính: log719; log1126. (ảnh 3)

Do đó log₇19 ≈ 1,5131.

Tương tự, ta cũng tính được log₁₁26 ≈ 1,3587.

Vậy log₇19 ≈ 1,5131 và log₁₁26 ≈ 1,3587.

Câu 14:

Tính:

a) log₁₂12³;

b) log_0,50,25;

c) log_aa^–3 (a > 0, a ≠ 1).

a) log₁₂12³ = 3;

b) log_0,50,25 = log_0,50,5² = 2;

c) log_aa^–3 = –3 (với a > 0, a ≠ 1).

Câu 15:

Tính:

a) $8^{\log_{2} 5};$

b) ${(\frac{1}{10})}^{\log 81};$

c) $5^{\log_{25} 16} .$

a) $8^{\log_{2} 5} = {(2^{3})}^{\log_{2} 5} = 2^{3 \log_{2} 5} = 2^{\log_{2} 5^{3}} = 5^{3} = 125;$

b) ${(\frac{1}{10})}^{\log 81} = 10^{- \log 81} = 10^{\log 81^{- 1}} = 81^{- 1} = \frac{1}{81};$

c) $5^{\log_{25} 16} = 5^{\log_{5^{2}} 16} = 5^{\frac{1}{2} \log_{5} 16} = 5^{\log_{5} 16^{\frac{1}{2}}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4.$

Câu 16:

Cho log_ab = 2. Tính:

a) log_a(a²b³);

b) $\log_{a} \frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}};$

c) $\log_{a} (2 b) + \log_{a} (\frac{b^{2}}{2}) .$

a) log_a(a²b³) = log_aa² + log_ab³ = 2log_aa + 3log_ab = 2 . 1 + 3 . 2 = 8;

b) $\log_{a} \frac{a \sqrt{a}}{b \sqrt[3]{b}} = \log_{a} {(\sqrt{a})}^{3} - \log_{a} {(\sqrt[3]{b})}^{4} = \log_{a} a^{\frac{3}{2}} - \log_{a} b^{\frac{4}{3}}$

$= \frac{3}{2} \log_{a} a - \frac{4}{3} \log_{a} b = \frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{3}{2} - \frac{8}{3} = - \frac{7}{6};$

c) $\log_{a} (2 b) + \log_{a} (\frac{b^{2}}{2}) = \log_{a} (2 b \cdot \frac{b^{2}}{2}) = \log_{a} b^{3} = 3 \log_{a} b = 3 \cdot 2 = 6.$

Câu 17:

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn a³b² = 100. Tính giá trị của biểu thức P = 3log a + 2log b.

Ta có: P = log a³ + log b² = log a³b² = log 100 = 10.

Câu 18:

Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H⁺] trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được [H⁺] = 8 . 10^–8 (Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?

Vì pH = – log [H⁺] = – log 8 . 10^–8 ≈ 7,1

Suy ra độ pH không phù hợ cho tôm sú phát triển.

Câu 19:

Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 5 . 10^–13 gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu và mỗi con vi khuẩn đều tồn tại trong ít nhất 60 giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là 6 . 10²⁷ gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Số lượng tế bào đạt đến khối lượng Trái Đất là:

N = 6 . 10²⁷ . 10³ : 5 . 10^–13 = 1,2 . 10²⁷

Số lần phân chia: N = N₀ . 2ⁿ

Suy ra $n = \frac{\log N - \log N_{0}}{\log 2} = \frac{\log 1, {2.10}^{27} - \log {5.10}^{- 13}}{\log 2} \approx 97, 6$

Thời gian cần thiết là: 97,6 : 3 = 32,5 (giờ)

Vậy sau 32,5 giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất.

Bắt đầu thi ngay