⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}=90$ mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4=12$ (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

$Q_1\approx 6$ (năm); $Q_2=9,5$ (năm) và $Q_3=12$ (năm).

a) Có 48 ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12;

b) Có 22 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16;

c) Có 8 ô tô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

Từ Bảng 1, ta thấy:

⦁ Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.

⦁ Tần số của nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là: 13; 29; 48; 22; 8.

Từ mẫu số liệu đã cho ta thấy giá trị nhỏ nhất là 160, giá trị lớn nhất là 175. Do đó ta chia mẫu số liệu đã cho thành 5 nhóm như sau:

[160; 163); [163; 166); [166; 169); [169; 172); [172; 175).

Bảng tần số ghép nhóm như sau:

a) Có 6 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 163 của nhóm 1.

b) Có 6 + 12 = 18 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 166 của nhóm 2.

c) Có 18 + 10 = 28 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 169 của nhóm 3.

d) Có 28 + 5 = 33 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 172 của nhóm 4.

e) Có 33 + 3 = 36 giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 175 của nhóm 5.

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như sau:

a) Trung điểm x₁ (giá trị đại diện) của nửa khoảng ứng với nhóm 1 là:

$x_1=\frac{160+163}{2}=161,5.$

b) Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 2 là:

$x_2=\frac{163+166}{2}=164,5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 3 là:

$x_3=\frac{166+169}{2}=167,5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 4 là:

$x_4=\frac{169+172}{2}=170,5.$

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 5 là:

$x_5=\frac{172+175}{2}=173,5.$

Ta hoàn thiện được Bảng 7 như sau:

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{6\cdot 161,5+12\cdot 164,5+10\cdot 167,5+5\cdot 170,5+3\cdot 173,5}{36}=166,41\left(6\right).$

Ta có bảng giá trị đại diện và tần số ghép nhóm như sau:

Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

$\overline{x}=\frac{3\cdot 29,5+3\cdot 38,5+6\cdot 47,5+5\cdot 56,5+4\cdot 65,5+3\cdot 74,5+4\cdot 83,5+2\cdot 92,5}{30}=59,2.$

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}=49,5$ do cf₃ = 60 > 49,5.

b) Đầu mút trái r của nhóm 3 là r = 37,5.

Độ dài d của nhóm 3 là d = 42,5 – 37,5 = 5.

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 20.

Tần số tích lũy cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 40.

c) Ta có: $M_e=37,5+\left(\frac{49,5-40}{20}\right)\cdot 5=39,875.$

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60.$

Mà 42 < 60 < 90 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8, d = 4, n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

$M_e=8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4=9,5.$

a) Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 19 < 20 < 32 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [120; 180) có r = 120, d = 60, n₃ = 13 và nhóm 2 là nhóm [60; 120) có cf₂ = 19.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu đã cho là:

$M_e=120+\left(\frac{20-19}{13}\right)\cdot 60\approx 125$ (phút).

b) • Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$ do cf₂ = 19 > 10.

⦁ Đầu mút trái s của nhóm 2 là s = 60;

Độ dài h của nhóm 2 là h = 60;

Tần số n₂ của nhóm 2 là n₂ = 13;

Tần số tích luỹ cf₁ của nhóm 1 là cf₁ = 6.

Giá trị Q₁ là: $Q_1=60+\left(\frac{10-6}{13}\right)\cdot 60\approx 78$ (phút).

c) • Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30$ do cf₃ = 32 > 30.

• Đầu mút trái t của nhóm 3 là t = 120;

Độ dài l của nhóm 3 là l = 60;

Tần số n₃ của nhóm 3 là n₃ = 13;

Tần số tích luỹ cf₂ của nhóm 2 là cf₂ = 19.

Giá trị Q₃ là: $Q_3=120+\left(\frac{30-19}{13}\right)\cdot 60\approx 171$ (phút).

Ta có bảng tần số tích lũy như sau:

Số phần tử của mẫu là n = 120.

⦁ Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}=30$ mà 13 < 30 < 42. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 2 là nhóm [4; 8) có s = 4; h = 4; n₂ = 29 và nhóm 1 là nhóm [0; 4) có cf₁ = 13.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=4+\left(\frac{30-13}{29}\right)\cdot 4\approx 6$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ mà 42 < 60 < 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 60.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là:

$Q_2=M_e=8+\left(\frac{60-42}{48}\right)\cdot 4=9,5$ (năm).

⦁ Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 120}{4}=90$ mà cf₃ = 90. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 90.

Xét nhóm 3 là nhóm [8; 12) có r = 8; d  = 4; n₃ = 48 và nhóm 2 là nhóm [4; 8) có cf₂ = 42.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=8+\left(\frac{90-42}{48}\right)\cdot 4=12$ (năm).

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

$Q_1\approx 6$ (năm); $Q_2=9,5$ (năm) và $Q_3=12$ (năm).

Từ bảng tần số ghép nhóm và tần số tích lũy ta có:

a) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất.

b) Nhóm [50; 60) có đầu mút trái là 50, độ dài là 10.

Ta thấy nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u = 50, g = 10 và n₃ = 16.

Nhóm 2 là nhóm [40; 50) có n₂ = 10 và nhóm 4 là nhóm [60; 70) có n₄ = 8.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: $M_o=50+\left(\frac{16-10}{2\cdot 16-10-8}\right)\cdot 10\approx 54,3.$

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{42,5\cdot 4+47,5\cdot 11+52,5\cdot 7+57,5\cdot 8+62,5\cdot 8+67,5\cdot 2}{40}=53,875.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 15 < 20 < 22 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 55) có r = 50, d = 5, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45; 50) có cf₂ = 15.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$M_e=50+\frac{20-15}{7}\cdot 5\approx 53,6$ (km/h).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 53,6 (km/h).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Mà 4 < 10 < 15 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [45; 50) có s = 45; h = 5; n₂ = 11 và nhóm 1 là nhóm [40; 45) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=45+\frac{10-4}{11}\cdot 5\approx 47,7$ (km/h).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30$. Mà cf₄ = 30 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [55; 60) có t = 55; l = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50; 55) có cf₁ = 22.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=55+\frac{30-22}{8}\cdot 5=60$ (km/h).

c) Nhóm 2 là nhóm [45; 50) có tần số lớn nhất với u = 45, g = 5, n₂ = 11 và nhóm 1 có tần số n₁= 4, nhóm 3 có tần số n₃ = 7.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_o=45+\frac{11-4}{2\cdot 11-4-7}\cdot 5\approx 48,2$ (km/h).

a) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên như sau:

b) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{17,5\cdot 1+22,5\cdot 0+27,5\cdot 0+32,5\cdot 1+37,5\cdot 10+42,5\cdot 17+47,5\cdot 0+52,5\cdot 1}{30}=40.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 30. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15.$

Mà 12 < 15 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có r = 40, d = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$M_e=40+\frac{15-12}{17}\cdot 5\approx 40,9$ (kg).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 40,9 (kg).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$. Mà 2 < 7,5 < 12 nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

Xét nhóm 5 là nhóm [35; 40) có s = 35; h = 5; n₅ = 10 và nhóm 4 là nhóm [30; 35) có cf₄ = 2.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=35+\frac{7,5-2}{10}\cdot 5=37,75$ (kg).

⦁ Ta có . Mà 12 < 22,5 < 29 nên nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

Xét nhóm 6 là nhóm [40; 45) có t = 40; l = 5; n₄ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35; 40) có cf₅ = 12.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=40+\frac{22,5-12}{17}\cdot 5\approx 43,1$ (kg).

c) Nhóm 6 là nhóm [40; 45) có tần số lớn nhất với u = 40, g = 5, n₆ = 17 và nhóm 5 có tần số n₅ = 10, nhóm 7 có tần số n₇ = 0.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là:

$M_o=40+\frac{17-10}{2\cdot 17-10-0}\cdot 5\approx 41,5$ (kg).

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy như sau:

⦁ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

$\overline{x}=\frac{35\cdot 4+45\cdot 10+55\cdot 14+65\cdot 6+75\cdot 4+85\cdot 2}{40}=55,5.$

⦁ Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20.$

Mà 14 < 20 < 28 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20.

Xét nhóm 3 là nhóm [50; 60) có r = 50, d = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 là nhóm [40; 50) có cf₂ = 14.

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

$M_e=50+\frac{20-14}{14}\cdot 10\approx 54,29$ (cm).

Do đó tứ phân vị thứ hai là Q₂ = M_e ≈ 54,29 (cm).

⦁ Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Mà 4 < 10 < 14 nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10.

Xét nhóm 2 là nhóm [40; 50) có s = 40; h = 10; n₂ = 10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf₁ = 4.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=40+\frac{10-4}{10}\cdot 10=46$ (cm).

⦁ Ta có $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 40}{4}=30.$ Mà 28 < 30 < 34 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30.

Xét nhóm 4 là nhóm [60; 70) có t = 60; l = 10; n₄ = 6 và nhóm 3 là nhóm [50; 60) có cf₃ = 28.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=60+\frac{30-28}{6}\cdot 10\approx 63,33$ (cm).

b) Nhóm 3 là nhóm [50; 60) có tần số lớn nhất với u = 50, g = 10, n₃ = 14 và nhóm 2 có tần số n₂ = 10, nhóm 4 có tần số n₄ = 6.

Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: