Đáp án đúng là: B

Ta có: 2^a = 9 ⇒ a = log₂ 9 = 2log₂ 3.

Thay a = 2log₂ 3 vào biểu thức, ta có: ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{\frac{2{\log }_{2}3}{6}}=\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2{\log }_{5}10+{\log }_{5}0,25$

$={\log }_5{10}^2+{\log }_{5}0,25$$={\log }_5(100.0,25)$$={\log }_{5}25=2$

Đáp án đúng là: C

• 2^{log x + log y} = 2^{log x} . 2^{log y} nên đáp án A sai

• 2^{log x} . 2^{log y} = 2^{log x + log y}  nên đáp án B sai

• 2^{log x .log y} = 2^{log x} . 2^{log y}  nên đáp án D sai

• 2^{log (xy)} = 2^{log x + log y} = 2^{log x} . 2^{log y}  nên đáp án C đúng.

Ta có $x={\log }_{3}6+{\log }_{9}4$$={\log }_{3}6+{\log }_{3^2}{2}^2$

$={\log }_{3}6+{\log }_{3}2={\log }_3(6.2)={\log }_{3}12$

Thay vào biểu thức, ta có $3^x=3^{{\log }_{3}12}=12$

Đáp án đúng là: C

Ta có  (log₂ 25).(log₅ 8) = (log­₂ 5²).(log₅ 2³)

= 2.log₂ 5 . 3log₅ 2 = 6log₂ 5 . log₅ 2 = 6.

Đáp án đúng là: D

Ta có $lo{g}_{15 }50=\frac{\log 50}{\log 15}=\frac{\log \left(5.10\right)}{\log \left(3.5\right)}$

$=\frac{\log 5+\log 10}{\log 3+\log 5}=\frac{b+1}{a+b}$

Đáp án đúng là: D

a = 4^0,9 =2^1.8 , b = 8^0,5 = 2^1.5, $c={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,6}$  = 2^1,6

Suy ra 2^1,8 > 2^1,5 > 2^1,6 (do cơ số 2 >1 và 1,8 > 1,6 > 1,5).

Do đó $4^{0,9}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1,6}>8^{0,5}$

Đáp án đúng là: C

• $x={\log }_a\sqrt{2}+{\log }_a\sqrt{3}={\log }_a\sqrt{6}$

• $y={\log }_4\sqrt{5}$ ; $z={\log }_a\sqrt{\frac{14}{2}}={\log }_a\sqrt{7}$ .

Ta thấy ${\log }_a\sqrt{7}<lo{g}_a\sqrt{6}<{\log }_a\sqrt{6}$  (do 0 < a< 1).

Do đó z < x < y.

Đáp án đúng là: A

$a={\log }_{\frac{1}{2}}3,\text{\hspace{0.33em}}b={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0,3},c=2^{\frac{1}{3}}$$a={\log }_{\frac{1}{2}}3,\text{\hspace{0.33em}}b={\left(\frac{1}{2}\right)}^{0,3},c=2^{\frac{1}{3}}$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4x={\log }_3\frac{1}{3\sqrt{3}}=-{\log }_3\sqrt{27}=-{\log }_3\sqrt{3^3}$

$\iff 4x={\log }_3\frac{1}{3\sqrt{3}}$$\iff 4x=-{\log }_3\sqrt{27}=-{\log }_3\sqrt{3^3}$

$\iff 4x=-\frac{3}{2}{\log }_{3}3$

$\iff x=-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{4}{\log }_{3}3=\frac{-3}{8}$

$\iff x=\frac{-3}{8}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{-3}{8}$

Đáp án đúng là: B

Hàm số 0,3^{3x – 1}  và 0,09 = 0,3² có cơ số là 0 < 0,3 < 1 nên hàm số nghịch biến trên .

Ta có: 0,3^{3x – 1} > 0,09 0,3_­^{3x – 1} > 0,3²

Do đó, ta có 3x – 1 < 2 x < 1 (vì 0 < 0,3 < 1).

Tập nghiệm của S = (−∞; 1).

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\log }_{3}4.{\log }_{4}8.{\log }_{8}x={\log }_{8}64$

$\iff {\log }_3{2}^2.lo{g}_2{2}^3.{\log }_{2^3}x={\log }_8{8}^2$

$\iff 2{\log }_{3}2.3.\frac{1}{2}lo{g}_{2}2.\frac{1}{3}{\log }_{2^3}x={\log }_8{8}^2$

$\iff {\log }_{3}2.{\log }_{2}x=2$

$\iff {\log }_{3}x=2\iff x=3^2=9$

Vậy giá trị của x = 9.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}4x+5>0\\ x-4>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{5}{4}\\ x>4\end{array}\right.\Rightarrow x>4$

Ta có: ${\log }_5(4x+5)=2+{\log }_5(x-4)$

$\iff {\log }_5(4x+5)={\log }_{5}25+{\log }_5(x-4)$

$\iff {\log }_5(4x+5)={\log }_5\left(25\right(x-4\left)\right)$

⇔ 4x + 5 = 25x – 100

⇔ 21x = 105

⇔ x = 5 (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\log }_{2}x.(lo{g}_{2}3+{\log }_{2}x)=-\frac{1}{3}$

Đặt $t={\log }_{2}x(x>0)$ , ta có:

$t({\log }_{2}3+t)=-\frac{1}{3}$

$\iff t^2+t.{\log }_{2}3-\frac{1}{3}=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}{t}_1=-1,3353\\ t_2=-0,24962\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=\alpha =2^{-1,3353}\\ x_2=\beta =2^{-0,24962}\end{array}\right.$

Vậy tích $\alpha \beta =\frac{1}{3}$ .

a) ${\left(\frac{3^3}{2^3}\right)}^{\frac{5}{6}}.\left(\frac{4^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{2}}}\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^{3.\frac{5}{6}}.\left(\frac{4^{\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{2}}}\right)$

$={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}.\left(\frac{2^{2.\frac{3}{4}}}{3^{\frac{3}{2}}}\right)$$=\frac{3}{2}$

b)   $\log \sqrt{5}+\log \sqrt{2}=\log \sqrt{5}.\sqrt{2}$

$=\log \sqrt{10}$$=\log {10}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$

c) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{3}{4}}+{\log }_5\frac{9}{4}+{\log }_5\frac{4}{9}$

$={\left(\frac{2}{3}\right)}^{4\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}+{\log }_5\left(\frac{9}{4}\cdot \frac{4}{9}\right)$

$={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3}+0=\frac{27}{8}$

d) ${\log }_{2}7.{\log }_{3}16.{\log }_{9}3.{\log }_{7}9$

= ${\log }_{2}7.{\log }_3{2}^4.{\log }_{3^2}3.{\log }_7{3}^2$

$=4.{\log }_{2}7.{\log }_{7}3.{\log }_{3}2=4$

Ta có x log₅ 4 = 1 $\Rightarrow x=\frac{1}{{\log }_{5}4}={\log }_{4}5$

Khi đó 4^x + 4^–x = 4^log₄ ⁵ + 4^–log₄ ⁵ = 5 + 5^–1 = $\frac{26}{5}$

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là $\frac{26}{5}$

a) $4^x=\sqrt{2\sqrt{2}}={\left(\sqrt{8}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8\right)}^{\frac{1}{2}\text{\hspace{0.17em}}\cdot \frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{4}}$

Khi đó $4^x=8^{\frac{1}{4}}\Rightarrow x={\log }_4{8}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}{\log }_{4}8=\frac{3}{8}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=\frac{3}{8}$

b) 9^5x = 27^{x – 2} ⇒ 3^10x = 3^{3(x – 2)};

10x = 3(x – 2)  7x = – 6 . $\Rightarrow x=-\frac{6}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-\frac{6}{7}$

c) Điều kiện x > 0  

Ta có ${\log }_{81}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x={81}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81}=9$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9.

d) Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}3x+1>0\\ 4x-1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{3}\\ x>\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{4}$

 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x+1)={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-1)$

⇔ 3x + 1 = 4x – 1

⇔ x = 2 (nhận)                                                                          

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

e) ${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x+2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x>-2\end{array}\right.\Rightarrow x>2$

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$$\iff {\log }_5(x+2)(x-2)=1$

$\iff {\log }_5(x^2-4)=1$

⇔ x² – 4 = 5 ⇔ x²  = 9

 $\iff x=\sqrt{9}=3$ (nhận) hoặc $x=-\sqrt{9}=-3$  (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.

g) ${\log }_{x}8=\frac{3}{4}$

$\iff {\log }_x{2}^3=\frac{3}{4}$

$\iff 2=x^{\frac{1}{4}}$

 $\iff 2^4={\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^4\iff x=16$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 16.

a) 32^2x  64^{x – 2}

⇔ 2^10x    2^{6(x – 2)}

⇔ 10x  6(x – 2) (do 2 > 1)

⇔ 4x  – 12 ⇔ x  – 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (−3; +∞).

b) $25.{\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>4$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>\frac{4}{25}$

$\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^{x^2+2x+2}>{\left(\frac{2}{5}\right)}^2$

⇔ x² + 2x + 2 < 2 (do $0<\frac{2}{5}<1$).

⇔ x²  + 2x < 0

⇔ – 2 < x < 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–2; 0).

c) log (11x + 1) < 2

Điều kiện: 11x +1 > 0 $\iff x>-\frac{1}{11}$

Khi đó, ta có: log (11x + 1) < 2 ⇔ 11x + 1 < 10²

⇔ 11x < 99 . $\iff x<\frac{99}{11}=9$

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{1}{11};9\right)$

d) ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(3x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+1\right)$

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 2x+1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x>-\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{3}$

Khi đó, ta có ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(3x-1\right)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x+1\right)$

$\iff 3x-1\le 2x+1$

 (do $0<\frac{1}{3}<1$)

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\frac{1}{3};2\right]$

a) ${\left(3^{\alpha }+3^{-\alpha }\right)}^2$$=3^{2\alpha }+2+3^{-2\alpha }$

$={\left(3^{\alpha }-3^{-\alpha }\right)}^2+4$$=2^2+4=8$

$\Rightarrow 3^{\alpha }+3^{-\alpha }=2\sqrt{2}(do{3}^{\alpha }+3^{-\alpha }>0).$

b) $9^{\alpha }-9^{-\alpha }$$=\left(3^{\alpha }+3^{-\alpha }\right)\left(3^{\alpha }-3^{-\alpha }\right)$

$=2\sqrt{2}.2=4\sqrt{2}$

a) Áp dụng công thức:  $11=200{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{16}{T}}$

 $\iff \frac{16}{T}={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{11}{200}=lo{g}_2\frac{200}{11}$

$\iff T=\frac{16}{lo{g}_2\frac{200}{11}}\approx 3,8$ (ngày).

Vậy chu kì bán rã của radon khoảng 3,8 ngày.

a) Gọi x_1, x₂ (erg) lần lượt là năng lượng tạo ra của hai trận động đất có độ lớn lần lượt là M₁ = 5, M₂ = 3 (độ Richter).

Ta có: log x₁ = 11,8 + 1,5M₁; log x₂ = 11,8 + 1,5M₂.

 log x₁ – log x₂ = 1,5 (M­₁ – M₂)

$\Rightarrow \log \frac{x_1}{x_2}=3\Rightarrow \frac{x_1}{x_2}={10}^3=1000$

Như vậy, năng lượng mà trận động đất độ lớn 5 độ Richter gấp 1000 lần so với trận động đất có độ lớn 3 độ Richter.

b) Ước lượng rằng một trận động đất có độ lớn khoảng từ 4 đến 6 độ Richter, ta có:

11,8 + 1,5 . 4  $\le$  log x $\le$  11,8 + 1,5 . 6

=> 17,8  $\le$ log x $\le$  20,8

=> 10^17,8 $\le$ x $\le$  10^20,8

Như vậy, nặng lượng do trận động đất tạo ra nằm trong khoảng 10^17,8 $\le$x $\le$ 10^20,8.