Từ công thức cộng xác suất, suy ra

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A È B) = 0,4 + 0,5 – 0,6 = 0,3.

Lại có P(A) × P(B) = 0,4 ∙ 0,5 = 0,2.

Do đó, P(AB) ≠ P(A) × P(B).

Vậy A và B không độc lập.

Từ công thức cộng xác suất, suy ra

P(AB) = P(A) + P(B) – P(A È B) = $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{7}{30}$  .

Lại có $P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{15}=\frac{4}{30}$ .

Do đó, P(AB) ≠ P(A) × P(B).

Vậy A và B không độc lập.

Ta có W = {SS; SN; NS; NN}, n(W) = 4.

A = {SS}, n(A) = 1. Do đó $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$ .

B = {SS; SN; NS}, n(B) = 3. Do đó  $P\left(B\right)=\frac{3}{4}$ .

AB = A Ç B = {SS}, n(AB) = 1. Do đó $P\left(AB\right)=\frac{1}{4}$  .

Vì $P\left(AB\right)=\frac{1}{4}=\frac{4}{16}\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{3}{16}$  nên A và B không độc lập.

Vậy A và B không độc lập.

Vì gieo hai con xúc xắc cân đối nên ta có n(W) = 36.

Xét biến cố đối $\overline{A}$ : “Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”.

$\overline{A}=\left\{\left(a,b\right):a,b\in \left\{1;2;3;4;6\right\}\right\}$. Ta có $n\left(\overline{A}\right)=25$ .

Do đó $P\left(\overline{A}\right)=\frac{25}{36}\Rightarrow P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$ .

Ta có B = {(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1)}, n(B) = 6.

Do đó $P\left(B\right)=\frac{6}{36}$ .

AB = A Ç B = {(2, 5); (5, 2)}, n(AB) = 2. Do đó $P\left(AB\right)=\frac{2}{36}$ .

Vì  $P\left(AB\right)=\frac{2}{36}=\frac{72}{{36}^2}\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{66}{{36}^2}$nên A và B không độc lập.

Vậy A và B không độc lập.

a) Ta có W = {(a, b, c): 1 ≤ a, b, c ≤ 3}, n(W) = 27.

A = {(1, 2, 3); (2, 1, 3); (3, 1, 2); (1, 3, 2); (3, 2, 1); (2, 3, 1); (2, 2, 2)}, n(A) = 7.

Do đó $P\left(A\right)=\frac{7}{27}$ .

B = {(1, 1, 1); (2, 2, 2); (3, 3, 3)}, n(B) = 3. Do đó$P\left(B\right)=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$ .

b) Có AB = A Ç B = {(2, 2, 2)}, n(AB) = 1. Vậy $P\left(AB\right)=\frac{1}{27}$ .

Vì $P\left(AB\right)=\frac{1}{27}=\frac{27}{{27}^2}\ne P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)=\frac{21}{{27}^2}$  nên A và B không độc lập.

Vậy A và B không độc lập.

Gọi A, B tương ứng là các biến cố: “Bạn An về thăm nhà vào ngày Chủ nhật” và “Bạn Bình về thăm nhà vào ngày Chủ nhật”. A và B là hai biến cố độc lập.

Ta có sơ đồ hình cây:

a) P(AB) = P(A) × P(B) = 0,2 × 0,25 = 0,05.

Vậy xác suất để cả hai bạn đều về thăm nhà là 0,05.

b) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,2 + 0,25 – 0,05 = 0,4.

Vậy xác suất để có ít nhất một bạn về thăm nhà là 0,4.

c) $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,8\cdot 0,75=0,6$  .

Vậy xác suất để cả hai bạn đều không về thăm nhà là 0,6.

d) $P\left(A\overline{B}\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)=0,2\cdot 0,75=0,15$  .

Vậy xác suất để chỉ có bạn An về thăm nhà là 0,15.

e) $P\left(A\overline{B}\cup \overline{A}B\right)=P\left(A\overline{B}\right)+P\left(\overline{A}B\right)=0,2\cdot 0,75+0,8\cdot 0,25=0,35$  .

Vậy xác suất để có đúng một bạn về thăm nhà là 0,35.

Lại có $A=AB\cup A\overline{B}$  , suy ra $P\left(A\right)=P\left(AB\right)+P\left(A\overline{B}\right)=0,1+0,4=0,5$ .

Do A, B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A) × P(B) hay 0,1 = 0,5 × P(B)

⇒ P(B) = 0,2.

Vì P(B) = 0,2 nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=1-0,2=0,8$ .

Do đó $P\left(A\cup \overline{B}\right)=P\left(A\right)+P\left(\overline{B}\right)-P\left(A\overline{B}\right)$  = 0,5 + 0,8 – 0,4 = 0,9.

Vậy $P\left(A\cup \overline{B}\right)=0,9.$